Пример расчета задачи 1

Пусть имеем следующие данные:

Для студентов, у которых предпоследняя цифра шифра зачетной книжки (смотри приложение) равна 2 (или 5, или 8), число измерений составляет n =6: а ₁ =35, 2 бар, а ₂=35, 6 бар, а ₃ =36, 8 бар, а ₄ =35, 1 бар, а ₅ =36, 5 бар, а ₆ =36, 2 бар.

1) Вычисляем среднеарифметическое значение этих величин

= 35, 90

2) Находим погрешности отдельных измерений

D а ₁ =35, 90-35, 20 =0, 70 D а ₂ =35, 90-35, 60 =0, 30

D а ₃ = 35, 90 - 36, 80 = -0, 90 D а ₄ =35, 90-35, 10 =0, 80

D а ₅ =35, 90-36, 50 =-0, 60 D а ₆ =35, 90-36, 20 =-0, 30.

3) Вычисляем квадраты погрешностей

(D а ₁)² =0, 70²= 0, 49 (D а ₂)² =0, 3²= 0, 09

(D а ₃)² =(-0, 9)²= 0, 81 (D а ₄)² =0, 80²= 0, 64

(D а ₅)² =(-0, 6)²= 0, 36 (D а ₆)² =(-0, 3)²= 0, 09.

4) Среднеквадратичная погрешность

=0, 2875.

5) Для студентов, у которых последняя цифра шифра зачетной книжки (смотри приложение) равна 2 (или 7), принимаем надежность p =0, 98.

6) Определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента

t_p (6) =3, 365.

7) Вычисляем границы доверительного интервала (погрешность результата измерений)

D а =3, 365 ^. 0, 2875 =0, 9675

8) Окончательный результат имеет вид

а =35, 9 ±0, 9675

9) Относительная погрешность измерений

.

Задание 2.

1. При измерении постоянной величины было проведено 20 опытов. Требуется определить, пригоден ли этот метод для однократных измерений с установленной допускаемой погрешностью ±0, 5% при доверительной вероятности p =0, 9973.

2. Для каких измерений пригоден этот метод при однократных измерениях с доверительной вероятностью p =96%?

3. Какой доверительный интервал (т.е. абсолютная погрешность результата измерений) среднего при десятикратных прямых измерениях (n =10) и доверительной вероятности p =99, 9%?

4. Сколько наблюдений следует провести данным методом, чтобы погрешность среднего с доверительной вероятностью p =99% не превышала 0, 1?

Методические указания:

Последняя цифра в значении средней величины ₂₀ при проведении 20 опытов определяется по последней цифре шифра зачетной книжки (см. приложение к заданию). Предпоследняя цифра в значении средней величины ₁₀ при проведении 10 опытов определяется по предпоследней цифре шифра. Предпоследняя цифра в значении квадрата средней погрешности измерений S(D а_i)²/ n определяется по последней цифре шифра, а последняя цифра в значении S(D а_i)²/ n определяется по предпоследней цифре шифра зачетной книжки.

Оценку результатов прямых экспериментальных измерений одной и той же величины выполнять в следующем порядке:

1) Определяем приближенное значение среднего квадратичного отклонения для серии из n =20 измерений:

2) Вычисляем границы доверительного интервала (абсолютную погрешность результата измерений)

.

Значения t, _p(n) находим из таблицы приложения к заданию 2 согласно заданного значения p.

3) Определяем, какую долю в процентах составляет величина доверительного интервала по отношению к среднему измерению _n

4) Сравниваем полученный результат с заданной установленной допускаемой погрешностью ±0, 5% при доверительной вероятности p =0, 9973. Если значение e меньше 0, 5%, то данный метод измерений пригоден.

5) Для заданного значения надежности р, уровень которого составляет 96%, определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(n) и вычисляем границы доверительного интервала D а

D а= ±()

6) Определяем, какую долю в процентах составляет величина доверительного интервала по отношению к среднему измерению _n при заданом уровне надежности p =96%

.

Делаем вывод о пригодности метода для измерений, у которых относительная погрешность с уровнем надежности p =96% не должна превышать полученного значения e.

7) Определяем приближенное значение среднего квадратичного отклонения для серии из n =10 измерений:

8) Для заданного значения надежности р, уровень которого составляет 0, 999, определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(10) и вычисляем границы доверительного интервала D а

D а= ±()

9) Определяем эти границы в процентах

,

10) Определяем число наблюдений, которое необходимо провести этим методом, чтобы погрешность среднего с доверительной вероятностью р =99% не превышала 0, 1%. Для заданного значения надежности р =0, 99 определяем границы заданного доверительного интервала 0, 1% при новом среднем значении измеренной величины _нов:

D _нов = ±( _нов0, 001)

11) Определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(n) при заданном p и приближенное значение среднего квадратичного отклонения для среднего

12) Определяем число наблюдений n и округляем его до целого

.

Пример расчета задания 2

Последняя цифра в значении средней величины ₂₀ при проведении 20 опытов у студента равна 4 (по последней цифре шифра зачетной книжки, см. приложение к заданию). Предпоследняя цифра в значении средней величины ₁₀ при проведении 10 опытов равна 2. Предпоследняя цифра в значении квадрата средней погрешности измерений S(D а_i)²/ n равна 4 (определяется по последней цифре шифра), а последняя цифра в значении S(D а_i)²/ n равна 2 (определяется по предпоследней цифре шифра зачетной книжки).

Оценку результатов прямых экспериментальных измерений одной и той же величины выполнять в следующем порядке:

1) Определяем приближенное значение среднего квадратичного отклонения для серии из n =20 измерений:

=0, 357.

2) Вычисляем границы доверительного интервала (абсолютную погрешность результата измерений)

=3× 0, 357=1, 071.

Значения t, _pт(n) находим из таблицы приложения к заданию 2 согласно заданного значения p.

3) Определяем, какую долю в процентах составляет величина доверительного интервала по отношению к среднему измерению _n

= =0, 45%.

4) Сравниваем полученный результат с заданной установленной допускаемой погрешностью ±0, 5% при доверительной вероятности p =0, 9973. Поскольку значение e=0, 45% < 0, 5%, то данный метод измерений пригоден.

5) Для заданного значения надежности р, уровень которого составляет 96%, определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(n) =2, 054 и вычисляем границы доверительного интервала D а

D а= ±(2, 054× 0, 357)=±0, 733.

6) Определяем, какую долю в процентах составляет величина доверительного интервала по отношению к среднему измерению _n при заданом уровне надежности p =96%

= 100%=0, 309%.

Делаем выво: метод пригоден для измерений, у которых относительная погрешность с уровнем надежности p =96% не должна превышать полученного значения e =0, 309%.

7) Определяем приближенное значение среднего квадратичного отклонения для серии из n =10 измерений:

= =0, 1129.

8) Для заданного значения надежности р, уровень которого составляет 0, 999, определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(10) =3, 291 и вычисляем границы доверительного интервала D а

D а= ±(0, 1129× 3, 291)=±0, 372.

9) Определяем эти границы в процентах

= 100%=0, 157.

10) Определяем число наблюдений, которое необходимо провести этим методом, чтобы погрешность среднего с доверительной вероятностью р =99% не превышала 0, 1%. Для заданного значения надежности р =0, 99 определяем границы заданного доверительного интервала 0, 1% при новом среднем значении измеренной величины _нов:

D _нов = ±(210× 0, 001)=±0, 21.

11) Определяем из таблицы приложения коэффициент Стьюдента t_p(n) при заданном p и приближенное значение среднего квадратичного отклонения для среднего

= =0, 082.

12) Определяем число наблюдений n и округляем его до целого

= =19 наблюдений.

Приложение к заданию 1

КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЬЮДЕНТА t, _p(n)

Приложение к заданию 2

КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЬЮДЕНТА t, _p(n)

P	0, 96	0, 99	0, 9973	0, 999
n	n	S(D аi)2/ n	t, p(n)
	237, 5y	2, yx	2, 054	2, 576	3, 0	3, 291
	237, x0
новое

Примечание: x - предпоследняя цифра шифра, y - последняя цифра шифра