Замечание 2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.

Определение. Если ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то ряд называют условно сходящимся.

Оказывается, что свойства конечных сумм переносится только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.

Замечание 1. Абсолютно сходящиеся ряды обладают, как и обычные суммы конечного числа слагаемых, переместительным свойством: при любой перемене мест членов абсолютно сходящегося ряда он остается абсолютно сходящимся и с той же суммой.

Это свойство отсутствует у условно сходящегося ряда: переставляя члены такого ряда, можно добиться, что сумма ряда изменится.

Например. Условно сходящийся ряд S= .

Переставим члены ряда S= = =

= ( ) S= , т.е. уменьшили сумму вдвое.

Замечание 2. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.

Имеет место теорема, которую приведем без доказательств.