Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы






Лекция 22. Введение в проблему собственных значений

План

Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы

Задачи, приводящие к вычислению собственных значений

Подобное преобразование матрицы, его свойства

Свойства собственных значений и собственных векторов матрицы. Теорема о спектральном разложении матрицы

Связь между спектральным радиусом и матричной нормой

Понятия собственного значения и собственного вектора матрицы

Определение 1. Скаляр называется собственным значнием, а вектор собственным вектором матрицы , если выполняется равенство:

 

. (1)

 

При этом пара называется собственной парой матрицы .

Таким образом, собственный вектор – это такой специальный вектор, который при умножении на матрицу не меняет своего направления (при ) или меняет на противоположное (при ).

Каждому собственному значению матрицы соответствует бесконечно много собтвенных векторов. Действительно, если - собственный вектор , отвечающий собственному значению (т.е. выполняется равенство (1)), то , где , также собственный вектор , отвечающий собственному значению . Действительно:

 

,

 

т.е. по определению - собственная пара матрицы при любом .

Определение 2. Многочлен

 

 

относительно скаляра называется характеристическим многочленом матрицы (здесь - единичная матрица соответствующего размера), а уравнение

 

 

характеристическим уравнением.

Если матрица имеет размеры , то характеристический многочлен – это многочлен степени . Корни характеристического уравнения – это собственные значения матрицы , следовательно, -матрица имеет однозначно определяемых собственных значения.

Определение 3. Множество всех собственных значений матрицы называется ее спектром.

 

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал