Исық доғасының ұзындығы

а) Егер қ исық декарт координаттар жү йесінде , тең деуімен берілсе, онда қ исық тың доғ асының ұ зындығ ы мына формуламен есептелінеді: .

б) Егер қ исық параметрлік тү рде берілсе, онда қ исық тың доғ асының ұ зындығ ы мына формуламен есептелінеді: .

в) Егер қ исық сызық полярлық координаталар арқ ылы берілсе, яғ ни (), онда .

Айналу денесінің кө лемі. Ү зіліссіз сызығ ымен жә не тү зулерімен шектелген қ исық сызық ты трапеция ө сінен айналуынан пайда болғ ан айналу денесінің кө лемі мына формуламен есептелінеді: .

Айналу бетінің ауданын табу. Айталық, ү зіліссіз дифференциалданатын , ( жә не ) функциясының графигі ө сінен айналсын. Пайда болғ ан айналу бетінің ауданы:

Меншіксіз интегралдар. Анық талғ ан интегралды қ арастырғ анда интегралдың тө менгі жә не жоғ ары шектері – ақ ырлы сандар жә не интеграл астындағ ы функция –интегралдау аралығ ында ақ ырлы функция болуын талап еттік. Егер осы қ ойылғ ан шарттардың біреуі орындалмаса, интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.

1. Ақ ырсыз шектері бар меншіксіз интегралдар. Айталық, функциясы аралығ ында ү зіліссіз болсын. Осы функциядан -дан дейін алынғ ан меншіксіз интеграл деп мына шекті айтамыз: . Егер осы шек бар (санғ а тең) болса, онда меншіксіз интегралы жинақ ты, ал шегі жоқ немесе шексіздікке тең болса, онда интеграл жинақ сыз деп аталады. Егер аралығ ында болса, онда мұ ндай интеграл шекаралары: , тү зулерімен жә не функциясының графигімен шектелген фигураның ауданын береді. Жинақ ты интеграл ү шін бұ л аудан шектеулі, ал жинақ сыз интеграл ү шін шектеусіз болады.

5-мысал. . Демек, интеграл жинақ сыз.

Айталық, функциясы аралығ ында ү зіліссіз болсын. Сонда -тен -ғ а дейінгі меншіксіз интеграл деп мына шекті айтамыз .

Мұ ндай интеграл ( болғ анда) шекаралары , жә не болғ ан фигураның ауданын ө рнектейді.

Егер функциясы бү кіл сандар осінде ү зіліссіз болса, онда -тен -ке дейінгі меншіксіз интеграл деп мына екі интегралдың қ осындысын айтамыз

(мұ нда -кез келген сан). Бұ л анық тама -ны таң дап алуғ а байланыссыз. Мұ ндағ ы екі интеграл да жинақ ты болса, онда ол интеграл жинақ ты деп аталады. жә не . Егер осы интегралдың біреуі жинақ сыз болса, онда интегралы жинақ сыз деп аталады.