Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Практическое занятие 9-12
Тема: Производная. Правила дифференцирования. Цель занятий: Применение таблицу производных при решении задач. Знать свойства производных. Уметь решать производные от параметрической и неявной функции. Вопросы: Определение производной. Формула производных высших порядков. Дифференциал функции. Определение: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента. (производная обозначается ). Найти производные функции: Пример 1.
Пример 2. , Пример 3.
Если т.е. где функции и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции). Пример 4. Решение: Пример 5. Решение:
Пример 6. Решение: Пример 7. . Решение: Пример 8. Решение: Прологарифмируем равенство:
Тема: Производная неявной функции
Если зависимость х и у задана в неявной форме (1) то для нахождения производной в простейших случаях достаточно: 1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая у функцией от х; 2) приравнять эту производную нулю, т.е., положить ; 3) решить полученное уравнение относительно . Пример 1. Найти производную , если Решение: Находим производную левой части равенства и приравняем к нулю, получим: отсюда Пример 2. Найти производную , если Решение: Продифференцировав по х обе части данного уравнения, получим т.е. Тема: Дифференцирование функций, заданных параметрический
Если функция аргумента х задана параметрическими уравнениями , то Пример 1. Найти , если Решение: Найдем . Следовательно
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков. Производной второго порядка функции называется производная от ее производной. Вторая производная обозначается так: Производная порядка функции называется производная от производной порядка Обозначается производная так: Если функция задана параметрический: то производные вычисляется по формулам и т.д. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: Основные свойства дифференциала
Применение дифференциала к приближенным вычислениям Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и Если и независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляется по формулам: Пример 1. Найти Решение: Находим первую производную Отсюда получим вторую производную а затем и искомую третью Пример 2. Найти для функции заданной параметрический Решение: Воспользуемся формулой отсюда
Пример 3. Найти дифференциал функции Решение: Пример 4. Найти приближенное значение Решение: Рассмотрим функцию полагая и из формулы имеем Пример 5. Найти дифференциалы если Решение:
Рекомендуемая литература: ОЛ [2], [3], [4], [6]
|