Степенные ряды

Функциональный ряд вида , (*)

где - действительные числа, называется степенным.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности , то

при условии что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степеней разности любая, то радиус сходимости можно находить по формуле , в которой используется только значения а_n, отличные от нуля.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение: Здесь ; значит,

Ряд сходится только при