Вопрос 5. Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества .

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация - это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Считается, что множество X разбито на классы X₁, X₂,..., Х_n, если:

1) подмножества X₁, Х₂,..., Х_n попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х₁, Х₂,..., Х_n совпадает с множеством X.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают

неправильной.

Так, множество X треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Выделенные подмножества попарно не пересекаются и их объединение совпадает с подмножеством X.

Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Так, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества X на классы мы не получим, т.к. множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются.

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные трем, кратные пяти и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делится на три. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Данные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Т.о., Задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3, и класс чисел кратных 3.

А каким будет разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества?

Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В -подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

Выделение двух свойств натуральных чисел привело к изменению множества натуральных чисел на 4 класса: класс чисел, кратных 3 и 5; класс чисел, кратных 3 и не кратных 5; класс чисел, кратных 5 и не кратных 3;.класс чисел, не кратных 3 и не кратных 5.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса. Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников разбивается на три класса: класс прямоугольных треугольников; класс тупоугольных треугольников; класс треугольников, не являющихся ни прямоугольными, ни тупоугольными треугольниками.