Вопрос 19. Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и ее единственность.

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Около школы посадили 8 деревьев – берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5.

Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.

Среди посаженных деревьев 3 березы – на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5.

Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнением подмножества.

Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества A при условии, что n(A)=a, n(B)=b и B A.

Пример. Объясним, используя данное определение, что 7-4=3. 7 –это число элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем, например, множества A= {x, y, z, t, p, r, s}, B={x, y, z, t}. Найдем дополнение множества В до множества А: А\В={p, r, s}. Получаем, что n(А\В) = 3. Следовательно, 7-4 = 3.

Очевидно, в качестве таких множеств Аи В, что п(А) = 7, п (В) = 4 и B A, можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а — в не зависит от выбора множеств А и В, удовлетворяющих условиям п (А) = а, п( В) — в и B A.

№17.Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и её единственность.

Действие, при помощи которого находят разность а — в, называется вычитанием, чис­ло а — уменьшаемым, число b — вычитаемым.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обра­щаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между дейст­виями вычитания и сложения.

Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п (А), в— п (В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а — в = п (А\В).

На кругах Эйлера множества А, В, А\Визображаются так:

Известно, что A = B (A\B), откуда п (А) = п (В (А\В)).Так как В∩ (А\В)= Ø, то имеем п (А) = п (В(А\В)) = п (В) + (А\В)= в +(а — в). Следовательно, получаем, что а = в + (а — в), т. е. разность а — в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.

Установленный факт дает возможность по-другому дать опреде­ление разности.

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.