Замена переменной в неопределённом интеграле

Теорема (о замене переменной в неопределённом интеграле). Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

(1)

При этом, если то где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной в неопределённом интеграле:

1) Связать старую переменную интегрирования с новой переменной с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример. Проинтегрировать подходящей заменой переменной (подведение под знак дифференциала).

Решение:

Среди интегралов, вычисляемых с помощью замены переменной, выделим интегралы вида:

При их вычислении необходимо выделить в знаменателе полный квадрат, для чего используется стандартная замена:

(2)

Пример. Найти интеграл