Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Приближённое Вычисление определённых интегралов⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке Точками разобьём отрезок на n равных частей, длина каждой из которых равна Обозначим значения функции в точках разбиения. Метод прямоугольников Учитывая геометрический смысл определённого интеграла и заменяя приближённо площади маленьких криволинейных трапеций площадями соответствующих прямоугольников, получим: Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем: (17) Формула (17) называется формулой левых прямоугольников для приближённого вычисления определённого интеграла. Выбирая прямоугольники другим способом, получим формулу правых прямоугольников: (18) Чем больше число разбиений n, тем точнее приближённое значение определённого интеграла, вычисленного по формулам (17) и (18). Чтобы оценить найденное приближённое значение определённого интеграла число n отрезков разбиения увеличивают в два раза и сравнивают полученные значения интегралов и оставляют первые совпадающие знаки, если точность недостаточна, то снова удваивают число разбиений. Отметим, что погрешность R формул прямоугольников оценивается формулой: где М 1 – верхняя граница модуля первой производной функции на отрезке , т.е. Метод трапеций Каждую маленькую криволинейную трапецию приближённо заменим линейной трапецией, площадь которой Тогда Поскольку все отрезки одинаковой длины, то окончательно имеем: (19) Формула (19) называется формулой трапеций для приближённого вычисления определённого интеграла. Для погрешности R формулы (19) cпра-ведлива оценка где М 2 – верхняя граница модуля второй производной функции на отрезке , т.е. Мы привели только два метода приближённого вычисления определённого интеграла, существует и другие численные методы вычисления определённых интегралов, учитывающих особенности подынтегральных функций.
|