Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод перемещений






Рассмотрим альтернативный по отношению к методу сил метод раскрытия статической неопределимости стержневых систем, названный методом перемещений. В методе сил за неизвестные принимают реакции и (или) внутренние усилия в лишних связях, которые находят из равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей. В методе перемещений за неизвестные принимают перемещения подвижных узлов конструкции, которые находят из равенства нулю реакций в воображаемых опорных связях, препятствующих перемещениям узлов: в методе сил часть связей отбрасывается, а в методе перемещений, наоборот, вводится некоторое число новых связей. На первый взгляд, кажется, что мы усложняем задачу, вводя дополнительные связи, но благодаря оригинальному подходу это не так. Дело в том, что вводя в реальную конструкцию ряд виртуальных связей, мы получаем набор базовых случаев нагружения балок, используемых при расчете большого многообразия стержневых систем. Такой подход легко поддается программированию на ЭМВ.

Рассмотрим простую П-образную раму и представим возможную схему ее деформации при воздействии внешних нагрузок с учетом следующих упрощающих предпосылок:

1. Стержни при изгибе искривляются, но своей длины не изменяют;

2. Жесткие узлы поворачиваются так, что углы между примыкающими стержнями не изменяются.

Жесткие узлы D, E, F, G повернутся на некоторые углы θ 14 и переместятся по горизонтали на величину ∆ 1 и ∆ 2. Т.к. стержни не растяжимы, то DD1=EE1=∆ 1 и FF1=GG1=∆ 2. Таким образом общее число неизвестных равно степени кинематической неопределимости nk=ny+nл=4+2=6.

Число угловых неизвестных ny равно числу жестких узлов рамы. Число линейных неизвестных nл равно числу степеней свободы шарнирной модели. nл=Wш.м.=3D-2Uш-С=3*6-2*8-0=2.

Выбираем основную систему метода перемещений, вводя в жестких узлах виртуальные (воображаемые) заделки, препятствующие повороту, и линейные связи в узлах E, G, препятствующие горизонтальному перемещению.

Если теперь повернуть виртуальные заделки на углы θ 14 и сместить линейные связи на величину ∆ 1 и ∆ 2, и кроме того приложить внешние нагрузки , то мы получим эквивалентную систему, полностью адекватную заданной системе как в кинематическом смысле (равны соответствующие перемещения), так и в статическом (равны соответствующие реакции в реальных и виртуальных связях). Обозначим неизвестные буквами Z i.

 

 

Z3 Z4

F F1 G

Эквивалентная система
P2
P2
G1 2 Z6

Заданная система
D D1 P1 E E1 Z1 P1 Z5 Z2

A B 1

D=6; Uш=8
3 4 6 1 1

Шарнирная модель
2 2
1 2

Основная система
5

1 1

 

Вычислим реакции в виртуальных связях, вызванные угловыми и линейными перемещениями Z i, а также внешними заданными нагрузками , используя принцип суперпозиции. Для связи i получаем в эквивалентной системе:

где – реакция в связи i, вызванная действием единичного перемещения j связи , - реакция всвязи i от действия внешней нагрузки .

Так как в заданной системе виртуальные связи отсутствуют, то для нее .

На основе адекватности эквивалентной и заданной систем получаем , т.е. .

Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода перемещений:

Реакции в основной системе от различных воздействий могут быть найдены методом сил. Встречаются два основных случая опирания балок:

1. Глухие заделки с двух сторон;

2. Одна глухая заделка и одно шарнирное опирание.

 

 


А В

 


А В

В качестве примера рассмотрим определенные реакций, возникающих при повороте заделки А на угол .

Балка 2 раза статически неопределима n=R-U=4-2=2.

 

 


MA MB

з.с.

RA RB

 


о.с.

х1

э.с. х2

 


1 Е.С., 1 Е. Эп.

 


2 Е.С., 2 Е. Эп

1

1 l*1

1 г.с.

 

Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем связи в опоре В, и показываем эквивалентную систему. Записываем систему канонических уравнений:

Рассматриваем 1 и 2 единичные и грузовое состояние основной системы. В роли внешней нашрузки выступает угол поворота левой опоры . Вычислим податливости и перемещения iF.

 

Подставляем в систему:

или

Из уравнений равновесия находим:

По полученным данным строится эпюра изгибающий моментов в заданной балке от единичного угла поворота.

 


1 Эп.

 

 

Эпюра построена на растянутых волокнах.

 

Рассмотрим действие на балку силы Р.

 

 


Р


 

Заданная система

 

 


Основная система

P/2 P/2

 


x1 x1

Эквивалентная система

1

Pl/4

P/2

Pl/8

Мы получили два элемента библиотеки базовых случаев нагружения. Аналогично найдены решения для других случаев, которые как «кирпичики» используются при расчете рам.

Рассмотрим I единичное и грузовое состояния основной системы.

 


P2

MF
P1

 

 


r11

D


 

Для показанной выше рамы, например, можно записать:

где h и l – длины стоек и ригелей, сходящихся в узле D; Yc и Yp – моменты инерции стоек и ригелей. Аналогично находим:

После нахождения «единичных» rij и грузовых RiF реакций решается система уравнений относительно перемещений узлов Zi. Затем строится окончательная эпюра изгибающих моментов.

где – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичного перемещения - то же от внешней нагрузки .

Аналогично методу сил, в методе перемещений имеется целый ряд промежуточных и окончательных проверок правильности решения задачи.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.013 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал