Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность






Конечной целью выборочного наблюдения является ха­рактеристика генеральной совокупности на основе выбороч­ных результатов.

Выборочные средние и относительные величины распро­страняют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выбороч­ной средней и генеральной, т. е. может быть меньше средней ошибки выборки , равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную веро­ятность (объективную возможность появления события). По­этому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с оп­ределенной вероятностью Р.

Предельную ошибку выборки для средней () при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

(20)

где t - нормированное отклонение — «коэффициент доверия», за­висящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

— средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может бытьзаписана формула предельной ошибки выборки для доли при повторном отборе:

(21)

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета пре­дельных ошибок выборки (20) и (21) необходимо умножить подкоренное выражение на 1 - (n / N).

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел.

На основании теоремы П.Л. Чебышева (с уточ­нениями А.М. Ляпунова) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обоб­щающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отли­чаться от соответствующих генеральных показателей.

Применительно к нахождению среднего значения признака эта теорема может быть записана так:

(22)

а для доли признака:

(23)

где (24)

Таким образом, величина предельной ошибки выборки мо­жет быть установлена с определенной вероятностью.

Значения функции Ф(t) при различных значениях t как ко­эффициента кратности средней ошибки выборки, определяются на основе специально составленных таблиц. Приведем некото­рые значения, применяемые наиболее часто для выборок дос­таточно большого объема (n 30):

t 1, 000 1, 960 2, 000 2, 580 3, 000

Ф(t) 0, 683 0, 950 0, 954 0, 990 0, 997

Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, значение которой оп­ределяется коэффициентом t (в практических расчетах, как правило, заданная вероятность не должна быть менее 0, 95). Так, при t = 1 предельная ошибка составит = . Следова­тельно, с вероятностью 0, 683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превы­сит одной средней ошибки выборки. Другими словами, в 68, 3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±1 .

При t = 2 с вероятностью 0, 954 она не выйдет за пределы ±2 ,

при t = 3 с вероятностью 0, 997 — за пределы ±3 и т.д.

Как видно из приведённых выше значений функции Ф (t) (см. последнее значение), вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т. е. 3 крайне мала и равна 0, 003, т. е. 1—0, 997. Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому величину = 3 можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Выборочное наблюдение проводится в целях распростране­ния выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик (параметров) гене­ральной совокупности.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предель­ные значения характеристик генеральной совокупности и их дове­рительные интервалы:

• для средней (25)

для доли (26)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утвер­ждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от - до +

Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли:

Наряду с абсолютным значением предельной ошибки вы­борки рассчитывается и предельная относительная ошибка выбор­ки, которая определяется как процентное отношение предель­ной ошибки выборки к соответствующей характеристике выбо­рочной совокупности:

для средней, %: (27)

для доли, %: (28)

Рассмотрим нахождение средних и предельных ошибок вы­борки, определение доверительных пределов средней и доли на конкретных примерах.

Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым сред­ний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S= 6).

Необходимо с вероятностью Р = 0, 954 определить пре­дельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной кор­порации.

Решение. Предельную ошибку = t определяем по формуле по­вторного отбора (6.20), так как численность генеральной совокупности N неизвестна. Из представленных значений Ф (t) (см. с. 98) для вероятности Р = 0, 954 находим t = 2.

Следовательно, предельная ошибка выборки, дней:

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Генеральная средняя будет равна = ± , а доверительные интервалы (пределы) генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства:

Таким образом, с вероятностью 0, 954 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпо­рации колеблется в пределах от 20, 8 до 23, 2 дней.

Задача 2. Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 2%-ная, механическая) мало­обеспеченных оказалось 300 семей.

Требуется с вероятностью 0, 997 определить долю мало­обеспеченных семей во всем регионе.

Решение. Выборочная доля (доля малообеспеченных семей сре­ди обследованных семей) равна:

По представленным ранее данным Ф(t) для вероятности 0, 997 находим t = 3 (см. с. 99). Предельную ошибку доли определя­ем по формуле бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Генеральная доля а доверительные пределы генеральной доли исчисляем, исходя из двойного неравенства:

В нашем примере:

Таким образом, почти достоверно, с вероятностью 0, 997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона колеблется от 28, 6 до 31, 4%.

Задача 3. Для определения урожайности зерновых культур про­ведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные дан­ные (табл.6.1). Необходимо с вероятностью 0, 954 опреде­лить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйст­вам региона.

Таблица 6.1


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал