Примеры решения задач

Задача 5.1

Методом собственно случайной выборки обследована жирность " молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3, 64%, а дисперсия составила 2, 56.

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0, 954, предельные значения генеральной средней.

Решение.

А. Формула средней ошибки выборки: .

По условию п = 100, σ ² = 2, 56. Отсюда

Б. Формула предельной ошибки выборки: =tμ.

По таблице значений F(t) (см. Приложение 2) при Р = 0, 954 находим, что t= =2. Отсюда = 2 - 0, 16 = 0, 32, или = 3, 64 ± 0, 32, т.е. предельные значения жирности молока (или дове­рительный интервал генеральной средней) определяются как 3, 32% 3, 96%.

Задача 5.2

На основе выборочного обследования 600 рабочих (п = 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0, 4 (w = 0, 4).

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка (А), не превышающая 5% (0, 05)?

Решение.

Чтобы определить вероятность допуска той или иной ошибки, из формулы =tμ находим показатель t, связанный с вероятностью:

По таблице значений F{t) (см. Приложение 2) для t = 2, 5 нахо­дим, что Р= 0, 988, т.е. с вероятностью 0, 988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0, 4) в общем числе рабочих допуще­на ошибка не более 0, 05 (5%).

Задача 5.3

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случай­ной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью (Р), равной 0, 954, можно было бы гарантировать ошиб­ку не более 5 руб.? Предполагаемое среднее квадратическое отклоне­ние σ = 20 руб.

Решение.

Из формулы находим п:

= 64 (человека).

Примечание. В формулах для определения необходимой численности выборки, получаемых из формул случайной ошибки вы­борки, предполагается обязательное знание величины дисперсии признака (σ ²) или [w(l — w)]. Так, для повторной выборки при определении средней , а при определении доли . Для бесповторной выборки соответственно и

Обычно в этих формулах используется значение дисперсии при­знака в аналогичных предшествующих исследованиях или же прово­дится пробное обследование небольшого числа единиц, для которых определяется значение σ ². В случае изучения доли определенных еди­ниц в совокупности при отсутствии каких-либо сведений о диспер­сии принимается максимальное значение [w(l – w)], равное 0, 25.

Задача 5.4

Средняя продолжительность горения, установленная путем ис­пытания 10 случайно отобранных электрических лампочек, оказа­лась равной 1280 ч при среднем квадратическом отклонении 18 ч.

С какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом предельная ошибка выборки (т.е. расхождение между выбороч­ной и генеральной средней) не превысит 12 ч?

Решение.

Поскольку п < 20, имеем дело с малой выборкой. Определяем среднюю ошибку малой выборки:

Из формулы предельной ошибки выборки находим:

Поскольку при малой выборке вероятность наступления той или иной ошибки выборки подчиняется распределению Стьюдента и, в частности, вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле

,

обращаемся к соответствующей таблице, где рассчитаны вероятнос­ти S(t) (см. таблицу Приложения 3), и находим для заданных п и t (на пересечении) значение S(t), а затем уже рассчитываем 2S(t)-1. Так, в нашем примере по таблице Приложения 3 для n = 10 — 1=9 и t = 2 получаем S(t) = 0, 962. Отсюда искомая вероятность допуска ошибки не более 12 ч равняется 2*0, 962-1= =0, 924.

(Значение п в таблице Приложения 3 принимается на единицу меньше числа наблюдений, т.е. как число степеней свободы. В на­шем примере число наблюдений 10, следовательно, в таблице ищем графу с п = 9.)

Задача 5.5

Для определения средней заработной платы рабочих завода была произведена 20%-ная бесповторная выборка (по цехам) с отбором единиц пропорционально численности групп. Результаты выборки представлены в приводимой ниже таблице:

Цех	Объем выборки, чел., пi	Средняя заработная плата, руб.,	Среднее квадратическое отклонение, руб., σ i
Всего		—	—

С вероятностью 0, 997 (т.е. t = 3) определить пределы, в которых находится средняя заработная плата всех рабочих завода.

Решение.

А. Находим общую выборочную среднюю заработную плату:

(руб.)

Б. Находим среднюю из групповых дисперсий:

.

В. Определяем предельную ошибку выборочной средней зара­ботной платы. Для типической бесповторной выборки

Отсюда генеральная средняя

или ,

т.е. средняя заработная плата всех рабочих находится в пределах от 880, 5 руб. до 896, 3 руб.

В статистике часто приходится сравнивать результаты двух (или более) выборок. И на основании сравнения двух выборочных сред­них (или долей) делается вывод о случайности или существенности их расхождений. Для этого абсолютная разность показателей сопоставляется со средней ошибкой разности . Если при п > 20 результат этого соотношения t< 3, то делается вывод о случайности расхождений. Если же объем вы­борки мал, т.е. п 20, то полученное значение t (фактическое) срав­нивают с табличным, определяемым по таблицам t-распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы и уровне значимо­сти. И если t_факт < t_табл, расхождения можно считать случайными. (Число степеней свободы при этом определяется как п₁ + п₂ — 2.)

Задача 5.6

Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выбороч­но обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Среднедневная заработ­ная плата мужчин оказалась равна 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 20 руб., а у женщин 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 30 руб. Определить, можно ли считать расхож­дение между средней дневной заработной платой мужчин и женщин случай­ным.

Решение.

А. Находим абсолютную разность средних:

= |830-780| =50 руб.

Б. Средняя ошибка разности

В. Находим t

Так как t > 3, то расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин нельзя считать случайным.