Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Принципы обработки данных
3.1. Виды погрешностей
Выполнив процесс измерения, получают результат измерения, который не может быть абсолютно точно равен истинному значению физической величины. Причиной появления погрешностей является несовершенство используемых средств измерений и неточность передачи рабочим средствам измерений размеров единиц соответствующих физических величин. Несовершенство средств измерений проявляется как в случайных, незакономерных изменениях результата измерений при повторении эксперимента в одинаковых условиях, так и в изменениях результата измерения вследствие различия условий проведения эксперимента, например изменений температуры окружающей среды, влажности воздуха и т.п. Также причиной появления погрешности может быть несовершенство применяемого метода измерения. Так, при измерении характеристик потока (например, скорости) внесение в поле датчика (например, электродиффузионного), обладающего определенными характеристиками (геометрическими размерами, и т.п.), приводит к изменению картины поля вблизи датчика, а следовательно, измеряемая данным методом величина принципиально не может быть измерена абсолютно точно. Также причиной появления погрешности может являться сам экспериментатор, вследствие физиологической ограниченности возможностей. Таким образом, при любом измерении имеется погрешность, представляющая собой отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Если погрешность выражена в единицах измеряемой величины, то она называется абсолютной погрешностью измерения и определяется формулой
(3.1.1)
где D – абсолютная погрешность; – значение, полученное при измерении; а – истинное значение измеряемой величины. На практике очень часто оперируют относительной погрешностью измерения, равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:
. (3.1.2) Так же как и истинное значение измеряемой величины, погрешность измерения не может быть определена абсолютно точно, поэтому используют приближенные ее оценки. Погрешности измерений могут быть вызваны различными причинами и по-разному проявляться в эксперименте. В связи с этим существенно отличаются и пути уменьшения тех или иных составляющих погрешности. В зависимости от причин возникновения погрешности подразделяются на инструментальные, методические и субъективные (личные). Инструментальная погрешность измерения – погрешность из-за несовершенства средств измерений. Эта погрешность в свою очередь обычно подразделяется на основную погрешность средства измерений и дополнительную. Основная погрешность средства измерений – это погрешность в условиях, принятых за нормальные, т.е. при нормальных значениях всех величин, влияющих на результат измерения (температуры, влажности, напряжения питания и т.п.). Дополнительная погрешность возникает при отличии значений влияющих величин от нормальных. Обычно различают отдельные составляющие дополнительной погрешности, например температурную погрешность, погрешность из-за изменения напряжения питания и т.п. Методическая погрешность –погрешность измерения, происходящая от несовершенства метода измерений. Эта погрешность может возникать из-за принципиальных недостатков используемого метода, из-за неполноты знаний о происходящих при измерении процессах, из-за неточности применяемых расчетных формул. Если предел допускаемой инструментальной погрешности средств измерений нормируется соответствующими документами, то методическая погрешность может и должна быть оценена только самим экспериментатором с учетом конкретных условий эксперимента, что во многих случаях представляет собой достаточно сложную задачу. Субъективная, или личная, погрешность обусловлена индивидуальными особенностями лица, выполняющего измерения. Примерами таких погрешностей являются погрешности из-за неправильного отсчитывания десятых долей деления шкалы прибора, асимметричной установки штриха оптического индикатора между двумя рисками, запаздывания реакции человека на сигнал (например, при нажатии головки секундомера в процессе поверки электрического счетчика). Автоматизация средств измерений и совершенствование конструкций отсчетных устройств и органов регулировки и управления привели к тому, что субъективные погрешности обычно незначительны. По характеру изменения погрешности при повторных измерениях погрешности делятся на систематические и случайные. Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. В соответствии с этим определением систематические погрешности разделяются на постоянные и переменные. Переменные в свою очередь могут быть прогрессирующими, периодическими и изменяющимися по сложному закону. Постоянными систематическими погрешностями называются такие, которые остаются неизменными в течение всей серии данных измерений, например погрешность из-за неточной подгонки образцовой меры, погрешность из-за неточной установки указателя прибора на нуль и т.п. Переменные систематические погрешности изменяются в процессе измерений. Если при измерениях погрешность монотонно убывает или возрастает, то она называется прогрессирующей. Так, например, монотонно меняется погрешность из-за разряда батареи или аккумулятора, если результат измерений зависит от напряжения питания. Периодическая систематическая погрешность – погрешность, значение которой является периодической функцией времени. Ее примером может являться погрешность, вызванная суточными изменениями напряжения питания электрической сети. Систематическая погрешность может изменяться и по некоторому сложному закону. Таковы, например, погрешности, вызванные неточностью нанесения шкалы прибора, погрешность электрического счетчика при различном значении нагрузки, погрешность, вызванная изменениями температуры окружающей среды и др. Закономерный характер систематической погрешности позволяет уменьшать. При этом сложную задачу может представлять собой уже обнаружение систематических погрешностей. Экспериментатор не всегда даже подозревает о существовании той или иной систематической погрешности. Для исключения (компенсации) постоянной систематической погрешности наибольшее распространение в практике получили следующие методы: введения поправок, замещения и компенсации погрешности по знаку. Введение поправок – наиболее широко используемый метод. Ввести поправку – это значит прибавить ее к результату измерения. Очевидно, что для компенсации систематической погрешности поправка должна быть по абсолютному значению ей равна, а по знаку противоположна. Метод замещения представляет собой разновидность метода сравнения, когда сравнение осуществляется путем замены измеряемой величины известной величиной (образцовой) и так, что при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходит никаких измерений. В этом случае значение измеряемой величины равно известному значению меры, а средства измерения используются фактически для их сравнения. Метод компенсации погрешности по знаку предусматривает измерение с двумя наблюдениями, выполняемыми так, чтобы постоянная систематическая погрешность в результат каждого из них входила с разными знаками. Результат измерения находится как среднее результатов этих двух наблюдений. Так, например, если постоянное внешнее магнитное поле вызывает погрешность измерения, то проводят два наблюдения, изменяя положение измерительного прибора относительно внешнего поля на 180°. Необходимо учитывать, что практически ни один из описанных методов не позволяет полностью исключить постоянную систематическую погрешность, а позволяет существенно ее уменьшить. Случайная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерения, но может быть уменьшена путем статистической обработки совокупности наблюдений. Таким образом, погрешность результата измерения представляет собой сумму систематической и случайной составляющих. Поэтому погрешность результата измерений в общем случае следует рассматривать как случайную величину, математическое ожидание которой есть систематическая погрешность. Тогда центрированная случайная величина будет равна случайной погрешности. Кроме систематических и случайных погрешностей, встречается также грубая погрешность измерения, которая существенно превышает ожидаемую при данных условиях погрешность. Иногда грубую погрешность называют промахом. Источником грубой погрешности может быть неправильный отсчет показаний средств измерений или непредвиденное кратковременное воздействие какого-либо фактора, например резкое кратковременное изменение напряжения питающей сети. Грубые погрешности выявляются при статической обработке ряда наблюдений, и соответствующие результаты наблюдений должны быть исключены.
3.2. Обработка результатов измерений. Оценки измеряемой величины
Измерения являются средством получения информации о тех или иных свойствах реальных физических объектов, о закономерностях протекающих процессов и т.п. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет разнообразие видов обработки результатов измерений. Так как все измерения сопровождаются случайными погрешностями, то обработка результатов измерений всегда включает в себя операции над случайными величинами или случайными процессами, выполняемые на основе методов теории вероятностей и математической статистики. Пример 3.2.1. Пусть производятся прямые измерения физической величины, истинное значение которой равно а. Если выполнено единственное измерение, результат которого равен x, то задача обработки не возникает. Экспериментатор может только оценить предельно допускаемую погрешность на основе норм на метрологические характеристики используемых средств измерений. Предположим, что в тех же условиях выполнены п аналогичных измерений, результаты которых равны х 1, х 2,..., хп. Разность представляет собой погрешность i -го измерения и является случайной величиной. Очевидно, что первая задача экспериментатора состоит в нахождении оценки измеряемой величины а. Эта оценка может быть получена только путем выполнения математических операций над результатами х 1, х 2,..., хп и, следовательно, является случайной величиной, которая должна в некотором смысле наилучшим образом приближаться к значению измеряемой величины. Таким образом, прежде чем получить формулу для вычисления оценки , необходимо сформулировать критерий, характеризующий качество той или иной оценки. Дополнительная измерительная информация, полученная путем проведения п измерений, дает возможность более точно оценить значение измеряемой величины, оценить параметры закона распределения случайной погрешности, проверить некоторые предположения (гипотезы) относительно этих величин. Пример 3.2.2. Производятся совместные измерения температуры t терморезистора и его сопротивления Rt при этой температуре с целью установить зависимость Rt = R (t). Предположим, что известен линейный характер этой зависимости, т.е.
, (3.2.1)
где – сопротивление терморезистора при температуре ; a – температурный коэффициент сопротивления. Для решения поставленной задачи необходимо проведение минимум двух опытов при температурах t 1и t 2, результаты которых можно представить в виде следующей системы уравнений:
(3.2.2)
В результате решения системы (3.2.2) находим оценки параметров Rt 0и a. Очевидно, что, кроме решения указанной системы уравнений, никакие другие задачи, связанные с обработкой результатов измерений, в данном случае не возникают. Положение существенно меняется, если, кроме двух описанных выше измерений, выполняются еще дополнительные измерения при других значениях температуры. Пусть проведено п опытов при разных температурах, результаты которых запишем в виде системы п уравнений:
(3.2.3)
Так как результаты измерений являются случайными величинами, то система уравнений (3.2.3) является несовместной, т.е. нет таких значений параметров Rt 0 и a, которые удовлетворяли бы всем уравнениям системы. Поэтому и в данном случае экспериментатор должен найти такие оценки и искомых параметров, которые в некотором смысле наилучшим образом приближали бы полученную линейную функцию ко всей совокупности экспериментальных данных. Как и в предыдущем примере, получение путем проведения дополнительных опытов измерительной информации позволяет повысить точность оценок искомых параметров линейной зависимости, оценить уровень погрешности измерений и погрешностей полученных оценок параметров, проверить те или иные гипотезы и т.п. Чтобы оценка некоторой измеряемой величины (параметра) а была в каком-то смысле «доброкачественной», она должна удовлетворять следующим требованиям: оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа опытов п оценка приближается к истинному значению а. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание М [ ]равно истинному значению а, т.е. М [ ] = а. Очевидно, что если оценка несмещенная, то она не содержит систематической погрешности. Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими она обладает наименьшей дисперсией, т.e. D [ ] = min. На практике не всегда получают оценки, удовлетворяющие всем перечисленным требованиям. Для упрощения вычислений иногда допускают некоторую смещенность оценки или используют, строго говоря, неэффективную оценку, однако во всех подобных случаях необходимо оценить степень ухудшения получаемой оценки по сравнению с наилучшей. Получение «доброкачественных» оценок требует определения критерия их сравнения. Если такой критерий установлен, то наилучшей оценкой будет та, которая обеспечит экстремум этого критерия. Наибольшее распространение в практике получили следующие методы нахождения «доброкачественных» оценок: наименьших квадратов и максимального правдоподобия. В методе наименьших квадратов в качестве критерия сравнения оценок используется сумма квадратов отклонений результатов измерений от полученной оценки измеряемой величины (или функции). Так, в примере 1 наилучшая оценка а должна удовлетворять условию
, (3.2.4)
а в примере 2 условие оптимальности оценок Rt 0и примет вид
. (3.2.5)
В методе максимального правдоподобия в качестве критерия оптимальности оценок используется функция правдоподобия, представляющая собой плотность вероятности всей совокупности экспериментальных данных. Искомые оценки находятся из условия максимума функции правдоподобия, что фактически соответствует максимуму вероятности получения именно тех результатов измерений, которые были получены в опытах. Вычисление функции правдоподобия требует знания вида закона распределения погрешности измерений. В этом и состоит принципиальное отличие критерия максимального правдоподобия от критерия наименьших квадратов. Оценки, получаемые этими методами, совпадают в том случае, когда погрешность имеет нормальный закон распределения. Наряду с получением оценки искомой величины в виде одного числа (так называемое точечное оценивание) широкое распространение получило оценивание с помощью доверительных интервалов. Доверительным интервалом называется интервал значений оцениваемой величины, который с заданной вероятностью (доверительной вероятностью) накрывает истинное значение этой величины. Доверительный интервал является случайным интервалом: случайно его положение, определяемое точечной оценкой величины, случайна и длина интервала, вычисляемая, как правило, по опытным данным. Необходимо обратить внимание на то, что окончательные результаты обработки измерительной информации, представляемые в виде чисел, должны быть округлены в соответствии с установленными правилами. В основе правил округления лежит утверждение, что числовое значение результата измерения должно быть представлено так, чтобы оно оканчивалось десятичным знаком того же разряда, что и значение его погрешности. Большее число разрядов нецелесообразно, так как неопределенность результата, определяемая погрешностью, при этом не уменьшится. При уменьшении числа разрядов неопределенность результата увеличится. 3.3. Обработка результатов прямых равноточных измерений
Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено п аналогичных измерений, результаты которых равны x 1, х 2,..., хп. Каждый из результатов хi подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений Предположим, что: 1) погрешность является случайной величиной с нормальным законом распределения; 2) математическое ожидание погрешности М [ ] = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность; 3) погрешность имеет дисперсию , одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные; 4) погрешности отдельных наблюдений независимы. Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а, следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному. Тогда плотность распределения любого результата xi запишется в виде
. (3.3.1)
Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин x 1, х 2,..., хп
(3.3.2)
Плотность распределения (3.3.2) системы случайных величин представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим
(3.3.3)
Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку таким образом, чтобы при а = достигалось
(3.3.4)
Из (3.3.3) следует, что для выполнения (3.3.4) необходимо, чтобы
(3.3.5)
Условие (3.3.5) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим . Тогда оценка будет найдена из условия
(3.3.6)
Отсюда получим
, (3.3.7)
т.е. наилучшей оценкой является среднее значение результатов наблюдений. Из (3.3.7) следует, что оценка является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем
. (3.3.8)
Таким образом, оценка имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в п раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (3.3.8) следует, что при усреднении результатов п наблюдений случайную погрешность уменьшают раз. Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов п наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки для коррелированных результатов наблюдений
,
где – коэффициент корреляции между результатами i -го и j -го наблюдений. Полученная оценка является состоятельной, несмещенной и эффективной. Для оценки неопределенности величины необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия (3.3.4), представив ее в виде
(3.3.9)
На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку s2 из условия
(3.3.10)
Для упрощения вычислений прологарифмируем (3.3.9):
(3.3.11)
Так как логарифм является монотонной функцией, то значения s2, при которых функции (3.3.9) и (3.3.11) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия
. (3.3.12)
Продифференцировав (3.3.11) по s2, получим
(3.3.13) Отсюда найдем оценку, которую обозначим s2:
. (3.3.14)
Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой а соответствующую оценку дисперсии обозначим S 2:
. (3.3.15)
Преобразуем (3.3.15):
. (3.3.16)
Математическое ожидание оценки
(3.3.17)
Таким образом, оценка является смещенной оценкой дисперсии s2, однако
Такая оценка называется асимптотически несмещенной. Из (3.3.17) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель .Полученную несмещенную оценку обозначим :
(3.3.18) Используя (3.3.16), можно записать другую более удобную для вычислений формулу для расчета оценки , равносильную (3.3.18):
(3.3.19)
Полученные оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Оценим эти величины с помощью доверительных интервалов. Для этого сформируем общий подход к интервальному оцениванию параметров. Пусть необходимо получить доверительный интервал для некоторого параметра q, для которого вычислена точечная оценка и известна плотность распределения этой оценки f () (рис. 3.3.1).
Рис. 3.3.1. Плотность распределения оценки
Пусть задана доверительная вероятность Р. Построить доверительный интервал – значит найти его границы и , причем такие, что
(3.3.20)
Границы доверительного интервала зависят не только от оценки измеряемой величины, но и от оценки среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины
. (3.3.21)
При нормальном распределении погрешности величина распределена по закону Стьюдента с п –1 степенями свободы (t -распределение). Распределение Стьюдента зависит от числа опытов п и при п ® ¥ асимптотически приближается к нормальному. В таблице «Процентные точки распределения Стьюдента» приведены значения t aдля величины t, имеющей распределение Стьюдента с k = n –1 степенями свободы, определяемые из условия
, (3.3.22)
где – плотность t -распределения. Полагая (где – доверительная вероятность) и зная , по таблице находят границу . Подставив в (3.3.21) граничные значения , получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:
(3.3.23)
или
(3.3.24)
Построим доверительный интервал для дисперсии s2 случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина
(3.3.25)
распределена по закону с n –1 степенями свободы. В таблице «Процентные точки хи-квадрат распределения» приведены значения для величины , имеющей c2-распределение с k = n –1 степенями свободы, определяемые из условия
(3.3.26)
где – плотность c2-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значения верхней и нижней границ интервала, соответствующие вероятностям и , где Р – доверительная вероятность. Подставив в (3.3.26) вместо и найденные граничные значения и , получим границы доверительного интервала для дисперсии:
(3.3.27)
или
. (3.3.28)
Пример 3.3.1. Произведено 15 измерений емкости конденсатора с номинальным значением 1000 пФ.
Предположим, что систематическая погрешность измерений пренебрежимо мала, а случайная распределена нормально. Точечная оценка значения емкости конденсатора
Точечная несмещенная оценка дисперсии
Точечная оценка среднего квадратического отклонения
Определим интервальные оценки для истинного значения емкости С и дисперсии s2 при доверительной вероятности Р = 0, 95, По таблице t -распределения для вероятности и числа степеней свободы k = n – 1 = 15 – 1 = 14 находим t a=2, 145. Доверительный интервал для С равен:
или
1000, 961 < C < 1001, 265.
Построим доверительный интервал для s2. Для этого по таблице c2-распределения для вероятностей
,
и числа степеней свободы k = n – 1 = 14 находим
,
.
Доверительный интервал для s2 равен
или
0, 0399 < s2 < 0, 1853.
Соответственно доверительный интервал для sравен
0, 200< s < 0, 4305 пФ.
Округлив вычисленные значения, получим: оценка С емкости конденсатора равна 1001, 1 пФ; с доверительной вероятностью Р = 0, 95 истинное значение емкости конденсатора лежит в пределах
1001, 0 < C < 1001, 3 пФ,
или в более компактной записи
С = (1001, 15 ±0, 15) пФ.
Случайная погрешность измерений характеризуется оценкой среднего квадратического отклонения , а его истинное значение с вероятностью Р = 0, 95 лежит в пределах от 0, 2 до 0, 4 пФ. Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии случайной погрешности оптимальны при нормальном распределении погрешности. Эти же формулы используют и в тех случаях, когда закон распределения погрешности близок к нормальному. В то же время в практике встречаются ситуации, когда закон распределения погрешности существенно отличается от нормального. Если этот закон известен, то, применив описанную методику, можно получить необходимые оценки, оптимальные по критерию максимального правдоподобия. Однако чаще всего, если распределение существенно отличается от нормального, закон распределения с достаточной точностью установить не удается. В этом случае точечные оценки обычно вычисляют по формулам (3.3.7), (3.3.15) с учетом того, что их эффективность несколько хуже эффективности оптимальных оценок. Для грубой оценки снизу доверительной вероятности Р при заданном симметричном доверительном интервале можно воспользоваться неравенством Чебышева
(3.3.29)
Тогда для истинного значения измеряемой величины можно построить доверительный интервал в виде
(3.3.30)
где
.
При этом следует учитывать, что по (3.3.30) определяется верхняя граница для размера доверительного интервала.
3.4. Обработка результатов косвенных измерений
В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны :
(3.4.1)
Пусть каждая из величин (j = 1, 2,..., т) измерена с погрешностью . Необходимо оценить значение погрешности D z результата косвенного измерения. Рассматривая z как функцию т переменных , запишем ее полный дифференциал:
(3.4.2)
или
. (3.4.3)
Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим в (3.4.3) дифференциалы соответствующими приращениями:
. (3.4.4)
Каждое слагаемое (3.4.4) вида представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью определения величины . Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей. Формула (3.4.4) является приближенной, так как учитывает только линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей результатов косвенных измерений. Если известны систематические погрешности результатов прямых измерений величин , то по (3.4.4) вычисляется систематическая погрешность D z результатов косвенных измерений. При этом если частные погрешности имеют разные знаки, то происходит частичная компенсация систематических погрешностей. Эта же формула может быть использована для вычисления предельной погрешности. Пусть заданы предельные значения погрешностей прямых измерений в виде и требуется оценить предельную погрешность ± Dmахрезультата косвенного измерения. Тогда из (3.4.4) следует, что
(3.4.5)
Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины измерены со случайными погрешностями D j, имеющими нулевые математические ожидания М [ ]=0 и дисперсии . Используя (3.4.4), запишем выражения для математического ожидания М [D z ] и дисперсии s2[D z ] погрешности D z:
(3.4.6)
, (3.4.7)
где – коэффициент корреляции погрешностей и Если погрешности некоррелированы, то
. (3.4.8)
Таким образом, для оценки результата косвенного измерения естественно применить формулу
, (3.4.9)
а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (3.4.4) и (3.4.8). В общем случае при нелинейной функции (3.4.1) коэффициенты влияния , присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин . Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок . Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений. Однако в некоторых частных, но распространенных на практике случаях указанная погрешность определения коэффициентов влияния отсутствует. Рассмотрим различные ситуации. 1. Функция линейна. Пусть
(3.4.10)
где – известные коэффициенты. Тогда коэффициенты влияния
, (3.4.11)
а формулы (3.4.4) и (3.4.8) приобретают следующий вид:
(3.4.12)
. (3.4.13)
2. Функция логарифмируема. Пусть
(3.4.14)
где – известные числа, которые могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными. Прологарифмируем, а затем продифференцируем (3.4.14):
(3.4.15)
(3.4.16)
Положив, что погрешности измерений малы, заменим в (3.4.16) дифференциалы соответствующими приращениями:
, (3.4.17)
где ; – относительные погрешности. Дисперсия случайной относительной погрешности
(3.4.18)
где – дисперсии случайных относительных погрешностей прямых измерений значений величин . Как видно из полученных формул, в данном случае расчет погрешностей упрощается при переходе к оценкам относительных погрешностей измерений. Пример 3.4.1. Дана функция , где x, y, z – некоррелированные аргументы, полученные измерениями со средними квадратиченскими отклонениями , , . Определить . Решение. Согласно (3.4.8) можем записать:
Пример 3.4.2. Мощность, поглощаемую в активном сопротивлении, определяют косвенно путем измерения сопротивления резистора и падения напряжения на нем с последующим вычислением по формуле . Предположим что получены следующие результаты: 10 В, 0, 5 %, 100 Ом, 1 %. Оценить относительную погрешность. Решение. Преобразуем формулу:
.
Согласно (3.4.18)
Тогда
Вт, а » 1, 4%.
Пример 4.3.3. Найти значение электрической энергии и среднюю квадратическую погрешность ее определения по результатам измерения силы тока, сопротивления и времени, если I = (10, 230 ± 0, 015) А, R = (11, 68 ± 0, 01) Ом, t = (405, 2 ± 0, 1) с. Решение. Для нахождения энергии воспользуемся формулой . Согласно (3.4.18) формула относительной погрешности принимает вид:
кДж.
Пример 3.4.4. При измерении электрического сопротивления катушки приборами класса точности 1, 0 получены следующие результаты: I = 17, 2 мА, U = 440 мВ. Найти величину сопротивления и оценить точность измерения. Максимальное значение силы тока, измеряемое данным миллиамперметром, равно 75 мА, максимальное напряжение – 150 В. Решение. Абсолютные предельные погрешности приборов составят:
D I = ±75× 10-2 мА; D U = ±0, 015 В.
Относительные погрешности равны:
Значение сопротивления Относительная погрешность оценки сопротивления
Абсолютная предельная погрешность оценки сопротивления
Таким образом, результат измерения должен быть записан в виде
3.5. Обработка результатов совместных измерений
При совместных измерениях искомые значения величин находят решением системы уравнений, связывающей эти величины с непосредственно измеряемыми. Предположим сначала, что искомые значения величин определяются в результате решения системы линейных уравнений:
(3.5.1)
где – искомые значения величин; – измеряемые значения величин; – известные значения величин. Запишем систему уравнений (3.5.1) в виде
(3.5.2)
Предположим, что уравнения (3.5.2) являются точными, но значения получены с погрешностями. Пусть результаты измерений величин равны :
(3.5.3)
где – погрешность измерения величины . Тогда (3.5.4)
Очевидно, что при решении системы уравнений (3.5.2) вместо будут использоваться измеренные значения . В этом случае, если число измерений п больше числа неизвестных т (n > m), система уравнений (3.5.2) не имеет решения, т.е. нет такого набора значений , которые удовлетворяли бы всем п уравнениям системы. Поэтому уравнения (3.5.2) называются условными уравнениями. Относительно погрешности сделаем следующие допущения: 1) погрешность является нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией s2, одинаковой во всех измерениях; 2) погрешности отдельных измерений независимы. Из (3.5.4) следует, что величина будет иметь нормальное распределение с параметрами
(3.5.5)
Запишем плотность распределения величины :
(3.5.6)
Тогда функция правдоподобия
. (3.5.7)
Найдем оценки из условия максимума функции правдоподобия. Прологарифмируем (3.5.7):
(3.5.8)
Условием максимума функции (3.5.8) является (3.5.9)
или
(3.5.10)
Таким образом, условие (3.5.9) является требованием метода наименьших квадратов. Следовательно, в данном случае при нормальном распределении случайной погрешности оценки метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов совпадают. Для нахождения значений оценок , удовлетворяющих (3.5.9), необходимо добиться равенства нулю всех частных производных от этой функции по . Отсюда получим:
(3.5.11)
Система уравнений (3.5.11) также является линейной относительно величин и называется системой нормальных уравнений. Число нормальных уравнений системы (3.5.11) всегда равно числу неизвестных величин, оценки которых находятся в результате решения этой системы. Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных , получим стандартную запись системы нормальных уравнений:
(3.5.12)
В (3.5.12) xj и l рассматриваются как n -мерные векторы с компонентами и соответственно. Коэффициенты и свободные члены представляют собой скалярные произведения соответствующих векторов: (3.5.13)
Тогда искомые оценки величин могут быть вычислены из (3.5.12) методом определителей
(3.5.14)
где
Определитель получен заменой в определителе D j -го столбца столбцом свободных членов системы нормальных уравнений. Полученные оценки являются состоятельными, несмещенными, а для нормального распределения погрешности и эффективными. Используя те же экспериментальные данные, найдем оценку дисперсии случайной погрешности. Для этого воспользуемся формулой логарифма функции правдоподобия:
. (3.5.15)
Найдем оценку дисперсии s2, обеспечивающую максимум (3.5.15):
(3.5.16)
Подставив вместо оценки , получим:
. (3.5.17)
Оценка S 2 является смещенной, а для устранения этой смещенности необходимо перейти к оценке
(3.5.18)
Оценим погрешности найденных значений величин . Оценки дисперсий значений можно вычислить, пользуясь формулой
(3.5.19)
где D – главный определитель системы нормальных уравнений; – алгебраическое дополнение определителя D, получаемое путем удаления из определителя D j -й строки и j -го столбца; – оценка дисперсии погрешности прямых измерений. Пример 3.5.1. В результате выполнения совместных измерений находятся параметры линейной зависимости
у = а 1 + а 2 х. (3.5.20)
Система нормальных уравнений примет вид:
(3.5.21)
Преобразовав (3.5.20) получим:
(3.5.22)
где ; ; ; .
В результате решения (3.5.21) находим оценки
; (3.5.23)
Аналогично решается задача определения параметров полиноминальных зависимостей более высоких порядков. Пример 3.5.2. Определить параметры a и b в линейной зависимости , а также случайные погрешности их измерения (систематические погрешности отсутствуют) по результатам 10 измерений, приведенным во 2-м и 3-м столбце табл. 3.5.1:
Таблица 3.5.1
|