Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля, создаваемого током I в контуре с индуктивностью L, равна . Энергия Wt длинного соленоида, магнитное поле которого можно считать однородным и локализованным внутри объема V соленоида, равна , где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины. Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, приходящаяся на единицу объема) . Энергия магнитного поля в объеме V ..
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а =10 см, течет ток I = 5 А. Определить индукцию В магнитного поля в точке, равноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне. Решение Искомая индукция магнитного поля в Рисунок 3 Прямоугольная рамка с током точке А является векторной суммой индукций , создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, являющихся сторонами квадрата. Из соображений симметрии все четыре индукции по абсолютной величине равны между собой. На рисунке 3 изображен только один из четырех векторов , соответствующий полю, создаваемому током в проводе DC. B соответствие с правилом буравчика вектор перпендикулярен плоскости треугольника ADC. Геометрическая сумма будет направлена вдоль оси OO и равна сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. В = 4 В 1cosa. Из рисунка следует, что cosa = , и тогда . (1) Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком проводника, выражается формулой , (2) где I – сила тока в проводнике; r – расстояние от проводника до точки, напряженность поля в которой надо определить; b1 и b2 - углы, образованные направлением тока в проводнике и радиус-векторами, проведенными от концов проводника к точке А. В нашем случае b2 = p – b1, следовательно, cosb2 = – cosb1, и выражение (2) приобретает вид . (3) Подставляем выражение В 1 в формулу (1): . (4) 3aмeтив, чтo (a – длина стороны квадрата) и что , так как b1 = 60 ° как угол равностороннего треугольника, перепишем равенство (4) в виде . (5) Подставим числовые значения в выражение (5) и произведем вычисления: Тл = 1.33× 10–5 Тл = 13.3 мкТл.
2. На проволочный виток радиусом r = 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М = 6, 5мкН. Сила тока в витке I = 2 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.
Решение Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента М, действующего на виток с током в магнитном поле: М = р m В sina, (1) где р m – магнитный момент витка с током; В – индукция магнитного поля; a – угол между направлением индукции магнитного поля и нормали к плоскости витка. Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при (т.е. при sina = 1), а также то, что магнитный момент витка с током имеет выражение p m = I S, то формула (1) примет вид M = I B S. Отсюда, учитывая, что S = p r 2, находим . (2) Подставим числовые значения в формулу (2): Тл = 1.04× 10–4 Тл = 104 мкТл.
3. Плоский контур радиусом R = 2 см свободно установился в однородном магнитном поле с напряженностью H = 2× 103А/м. По контуру течет ток I = 2 А. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть контур на 900 вокруг оси, совпадающей с диаметром? Решение Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током вычисляется по формуле , где - изменение магнитного потока, пронизывающего контур. По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил, действующий на контур в магнитном поле, равен нулю (М = р m В sinj = 0), а значит, j= 0, т.е. векторы Pm и B совпадают по направлению. Зная, что Ф = B S cos , получим магнитный поток в начальном положении рамки Ф 1 =B S, так как cos =1. После поворота контура на 900 вокруг оси, совпадающей с диаметром, магнитный поток Ф 2 = 0, так как cos = 0, а = 900. Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током в магнитном поле: A = I (0 - BS) =- IBS =- I H R 2, где учтено, что S= R 2. Работа отрицательна, следовательно, она совершается против магнитных сил (контур до поворота находился в состоянии устойчивого равновесия). Энергия системы после такого поворота увеличивается. Вычисляем: A= 2× 14 × 10-7× × 2× 103× (2× 10-2)2 = 6, 3× 106 Дж.
4. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U =400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией В= 1, 5 мТ. Определить радиус кривизны траектории R и частоту n вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен силовым линиям поля. Решение 1. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F, а действием силы тяжести можно пренебречь. Сила Лоренца перпендикулярна к вектору скорости и, следовательно, является в данном случае центростремительной силой, т. е. F = F ц с. Подставляя выражения F и F ц с, получим , (1) где е - заряд электрона; v - скорость электрона; В - индукция магнитного поля; т - масса электрона; R - радиус кривизны траектории; a – угол между направлениями вектора скорости v и вектора индукции B (в нашем случае и a = 900, sina = 1). Далее из формулы (1) найдем . (2) Входящий в выражение (2) импульс mu может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона . (3) Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством T = eU. Подставив Т в формулу (3), получим . Выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид . (4) Подставив числовые значения в формулу (4), получим
м. 2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом . (5) Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим . Подставим сюда числовые значения величин и произведем вычисления: об/с = 4, 21× 107 об/с.
5. Определить индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идет ток силой I = 5 А. Внешний диаметр тороида d 1 = 30 см, внутренний – d 2 = 20 см. Решение Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль силовой линии поля . Из условия симметрии следует, что силовые линии тороида представляют собой окружности и что во всех точках силовой линии численное значение напряженности одно и то же. Поэтому в выражении для циркуляции напряженность H можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2p r, где r – радиус окружности, совпадающей с силовой линией, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е. . (1) С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция: . (2) Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим . (3) Силовая линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2p r H = N I. Отсюда . (4) Для средней линии тороида . Подставив выражение для r в формулу (4), найдем . (5) Магнитная индукция В 0 в вакууме связана с напряженностью поля соотношением В 0 = m0 Н. Следовательно, . (6) Подставляя числовые значения в выражения (5) и (6), получим: А/м = 1.37× 103А/м; Т =1.6× 10-3 Т = 1.6 мТл. 6. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0.1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков. Площадь рамки S = 150 см2. Рамка вращается с частотой n = 10 об/с. Определить мгновенное значение э. д.с., соответствующее углу поворота рамки в 30°. Решение Мгновенное значение э.д.с. индукции Ei определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла: , (1) где Y – потокосцепление. Потокосцепление Y связано с магнитным потоком Ф соотношением Y = N F, (2) где N - число витков, пронизываемых магнитным потоком F. Подставляя выражение Y в формулу (1), получим . (3) При вращении рамки магнитный поток F, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону F = B S cosw t, где В – магнитная индукция; S – площадь рамки; w – круговая (или циклическая) частота; w t – мгновенное значение угла между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции . Подставив в формулу (3) выражение F и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение э.д.с. индукции: E i = N B S w sinw t. (4) Круговая частота w связана с числом оборотов в секунду соотношением w = 2p n. Подставляя значение w в формулу (4), получим E i = 2p n N B S sinw t, (5) Подставим числовые значения в расчетную формулу (5): E i = 23.14× 10× 103× 0.1× 1.5× 10–2× 0.5В = 47.1В
7. На стержень из немагнитного материала длиной l = 50 см и сечением S = 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке I = 0, 5 А. Решение Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой . (1) Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема сердечника V L = m0 n 2 V, (2) где m0 – магнитная постоянная. Подставив в формулу (1) выражение индуктивности L, получим . (3) Выразим в этой формуле объем сердечника через его длину l и сечение S . (4) Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления: W = 0.5× 3.14× 10–7× (2× 103)2× (0.5)2× 2× 10–4× 0.5 Дж = 1.26× 10–4Дж = 126 мкДж. 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
|