Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Дисперсия дискретной случайной величины






Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X – М (X).

Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от МО:

D (X) = M [X – M (X)] 2(11)

Формула дисперсии в развернутом виде:

D (X) = [x1 – M (X)] 2 p1 + [x2 – M (X)] 2 p2 +... + [xn– M (X)] 2 pn (12)

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (11):

D (X) = M (X 2 ) – [M (X)] 2 (13)

Из формулы (13) следует, что дисперсия вычисляется по правилу: мат.ожидание квадрата минус квадрат мат.ожидания СВ.

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины X 2имеет вид

Х 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
P 0, 25 0, 2 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1 0, 05 0, 05 0, 025 0, 025

Математическое ожидание М (X 2 ) подсчитывается из этой таблицы:

М (X 2 ) = 0, 0, 25 + 1, 0, 2 + 4, 0, 1 + 9, 0, 1 + 16, 0, 1 + 25, 0, 1 + 36, 0, 05 + 49, , 0, 05 + 64, 0, 025 + 81, 0, 025 = 13, 475.

Математическое ожидание М (X) = 2, 675. Следовательно, согласно формуле (13), получаем искомую величину дисперсии:

D (X) = M (X 2 ) – [M (X)] 2 = 13, 475 – 7, 156 =6, 319

 

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0 (14)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (С X) = С2 D (X) (15)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х1 + Х2 + … + Хn) = D (Х1) + D (Х2) + … + D (Хn) (16)

 

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D (X + С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр (1 – р) = прq (17)

Отметим следующий важный результат: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (5), математическое ожидание и дисперсия равны параметру λ данного распределения. Итак,

если ДСВ Х распределена по биномиальному закону, то

M(X)=np, D(X)=npq

если ДСВ Х распределена по закону Пуассона, то

M(X)=λ, D(X)=λ

Пример 7. Банк выдал кредиты п разным заемщикам в размере 5 ден. ед. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери кредита для банка в каждом испытании равна q=1–р. Пусть X — число заемщиков, возвративших кредит со ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой:

П = (1 + r/100) SX – пS.

ДСВ X является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда математическое ожидание прибыли равно:

М (П) = (1 + r/100) S * М (X) – nS = (1 + r /100) Snp – Sn = Sn (rp/100 – q)

Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М (П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента

r > 100 q/p или r > 100 (1 – p) / p.

Дисперсия прибыли банка равна:

D (П) = D ((1 + r/100) SX – nS) = (1 + r/100) 2 S2npq


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал