Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоремы о делимости






(а: с лЬ: с)—> (а + Ь): с (делимость суммы);

(а: с л Ь: с л Ь < а) -> (а - Ъ): с (делимость разности);

а: с -» аЬ: с (делимость произведения);

{а: с лЬ: с/)—> (аЬ): {сс1) (делимость произведения).

Доказательства этих свойств основаны на определении 3.1. Рассмот­рим доказательство утверждения 8.

Доказательство. Если а: с и Ъ: то по определению 3.1. суще­ствуют целые неотрицательные числа ц, и д2 такие, что а = сцр Ь - Тогда число аЬ = (сд})-(йд2) = с-(д1 • (с/д? )) = с < ((дгс1) -д2) = = с-((с! •д}) -д2) = с.(а.(д^.д2)) = (с.а) •\д12).

Так как дг д? е Л^, то д; • ^еА^. Тогда по определению 3.1 (я/;): («/).

Пример 3.1. Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.

Для доказательства запишем данное утверждение на языке симво­лов. Одно число обозначим аЬ, другое — Ьа ■ Рассмотрим их сумму: аЬ + Ьа = 10 а + Ь + Ш+а=\\а+\\Ъ = 11 (а + Ь).

32 тде>

Видим, что первый множитель число 1 Делится на 11, значит, и про­изведение 11 (а + Ь) делится на 11. Итак, сумма аЬ+Ъа делится на 11.

При доказательстве математических утверждений о делимости час­то используют метод полной индукции. Метод полной индукции — это такое рассуждение, при котором общее заключение делается на осно­вании посылок, которые охватывают все частные случаи. Вывод в пол­ной индукции будет правильным только в том случае, если в частных посылках дано полное перечисление всех элементов данного множе­ства (всех возможных случаев). Это можно осуществить только для ко­нечного множества (или конечного числа всех возможных случаев).

Пример 3.2. Доказать, ч то произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2.

Доказательство. Требуется доказать, что п(п +1): 2. Для доказа­тельства разобьем множество всех натуральных чисел на два подмно­жества: четных и нечетных чисел. В каждом случае докажем данное ут­верждение, а затем сделаем общий вывод.

• если п ~ 2 к, то первый множитель п: 2.

• если п =2к + 1, то второй множитель п + \ = 2к + \ + \ - 2к + 2. - 2(к + 1): 2»

В каждом из частных случаев один из множителей произведения делит ся на 2. Значит, данное произведение делится на 2.

Пример 3.3. Доказа ть, что число 2я3 - 3 п2 + п делится на 3 при любом натуральном п.

Доказательство. Применим метод полной индукции. Выполним раз­ложение на множители данного числа:

2 п3- 3 п2 +п=п( 2 п2- Зл + 1) = п (п - 1)(2п - 1).

Для доказательства делимости на 3 рассмотрим числа вида п - Ък; п - ЗА- + 1; п - 3 к + 2:

• если п = 3 к, то первый множитель п делится на 3;

• если п- ЗА" + 1, то в торой множитель п - 1 = (ЗА; + 1) -1 = ЗА: делится на 3;

• если п - Ък+ 2, то третий множитель 2п - 1 = 2(3/с + 2) - I = +

+ 4 - 1 = Ьк + 3 = 3 (2А- + 1) делится на 3.

Мы показали, что для любого натурального п, кратного или не кратного 3, произведение п(п ~ 1)(2 п - 1) делится на 3, а значит, число 2 п3~ 3 п2 + п делится на 3 при любом натуральном п.

IIр им ер 3.4. Доказать, что при любом натуральном п число ап- 2п3 + 9 п2+ п делится на 6.

Доказательство. Докажем это утверждение методом математичес­кой индукции.

• Если п = 1, то а = 2- 13+ 9 • 12+ 1 = 12, и потому й 1 делится на 6, а значит, утверждение истинно при п- 1.

• Допустим, что утверждение истинно при п = к, т. е. что число ак- 2к3 + 9 к2 + А- делится наб.

• Докажем, что при л = к + 1 число ак+! делится на 6. В самом деле,

а., = 2(к+ \у+9(к+ 1 )2+(к+ \)~Ус3+ вк2+Ьк + 2+-9к2+ 18 к +

+9 +к+\- (2 к3 + 9 к2+к) + (6к2 + 24к + 12) = ак+ 6(к2 + 4к + 2 ).

Так как каждое слагаемое последней суммы (число ак соответствен­но по предположению, а число 6(к2+ 4 к + 2) как натуральное, которое содержит множитель 6) делится на 6, то и сумма делится на 6.

Значит, на основании пп.1 и 2 и принципа математической индук­ции можно сделать вывод, что при любом натуральном п число ап де­лится на 6.

* Задания-упражнения

• Доказать с помощью мет ода полной индукции, что при любом натуральном л число ап делится на Ь, если:

а) ап~ п4 + Ъп3- п2- Зл, Ь~6;

б) а= п4- 2 п3-п2+ 2п, Ь = 24;

в) а~ п5- 5п3+ 4п, Ь-\ 20.

• Доказать с помощью метода математической индукции, что при любом натуральном п число а_ делится на Ь, если;

а) а = 52+" + 26 • 5" + 82" +1, А = 59;

б) 5" +32" - 125, /> = 45;

в) а" = 55п+! + 45п+2 + З5», Ъ- 11.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал