Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Способы получения краевых условий






1. Если известны значения производной в граничных точках f /(a) = f 0 / и f /(b) = f N /, то полагаем m 0 = f 0 / и mN = f N /.

2. В качестве значений m 0 и m N можно выбрать аппроксимацию производной функции f формулами третьего порядка точности:

;

3. Если известны f //(a) = f 0 // и f //(b) = f N //, то можно приравнять вторые производные сплайна в граничных точках к заданным вторым производным. В результате получим:

и .

Конечный вид сплайна зависит от выбранных краевых условий. При этом возможна любая комбинация краевых условий.

Преимущества аппроксимации сплайнами:

1) Если для аппроксимации функции используется интерполяционный многочлен, то для увеличения точности интерполяции надо уменьшить шаг, т.е. увеличить количество точек, но при этом увеличится степень многочлена, с которым уже труднее работать. Сплайн же позволяет, изменяя количество точек, оставлять степень многочлена постоянной.

2) При работе со сплайном можно гарантировать аппроксимацию не только самой функции, но и аппроксимацию производных.

Теорема 4.3 (об оценке погрешности приближения функции сплайном).

Пусть функция C k +1[ a; b ] и S 3(x) – сплайн, аппроксимирующий данную функцию. Тогда для любого отрезка [ xi; xi+ 1] максимальное отклонение m -ой производной функции от соответствующей производной сплайна имеет вид:

, где

(С – некоторая константа, зависящая от функции, но не зависящая от h).

Замечание 1. Если сплайн построен по наклонам, заданным способами (1) и (3), то данная формула справедлива при . Если же наклоны заданы по способу (2), то .

Замечание 2. Если функция является периодической с периодом b-а, то добавляется условие m 0 = m N, после чего сплайн повторяется периодически на всю ось.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал