Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример решения задания №1.






Пусть требуется решить уравнение: x + cos (x2 + 2) = 0

Составляем таблицу значений функции на интервале [-10, 10] с шагом Н = 0, 5 с целью определения отрезков, на которых функция меняет свой знак.

х x2 + 2 cos (x2 + 2) x + cos (x2 + 2)
-10   0, 1016 -9, 8984
-9, 5 92, 25 -0, 4141 -9, 9141
-9   0, 2495 -8, 7505
-8, 5 74, 25 0, 4101 -8, 0899
-8   -0, 9996 -8, 9996
-7, 5 58, 25 -0, 1302 -7, 6302
-7   0, 7422 -6, 2578
-6, 5 44, 25 0, 9644 -5, 5356
-6   0, 9551 -5, 0449
-5, 5 32, 25 0, 6719 -4, 8281
-5   -0, 2921 -5, 2921
-4, 5 22, 25 -0, 9667 -5, 4667
-4   0, 6603 -3, 3397
-3, 5 14, 25 -0, 1126 -3, 6126
-3   0, 0044 -2, 9956
-2, 5 8, 25 -0, 3857 -2, 8857
-2   0, 9602 -1, 0398
-1, 5 4, 25 -0, 4461 -1, 9461
-1   -0, 9900 -1, 9900
-0, 5 2, 25 -0, 6282 -1, 1282
    -0, 4161 -0, 4161
0, 5 2, 25 -0, 6282 -0, 1282
    -0, 9900 0, 0100
1, 5 4, 25 -0, 4461 1, 0539
    0, 9602 2, 9602
2, 5 8, 25 -0, 3857 2, 1143
    0, 0044 3, 0044
3, 5 14, 25 -0, 1126 3, 3874
    0, 6603 4, 6603
4, 5 22, 25 -0, 9667 3, 5333
    -0, 2921 4, 7079
5, 5 32, 25 0, 6719 6, 1719
    0, 9551 6, 9551
6, 5 44, 25 0, 9644 7, 4644
    0, 7422 7, 7422
7, 5 58, 25 -0, 1302 7, 3698
    -0, 9996 7, 0004
8, 5 74, 25 0, 4101 8, 9101
    0, 2495 9, 2495
9, 5 92, 25 -0, 4141 9, 0859
    0, 1016 10, 1016

 

Из полученной таблицы следует, что только на интервале [0, 5; 1] функция меняет свой знак, т е корень уравнения находится внутри этого интервала.

a) Применим метод половинного деления. Отрезок [0, 5; 1] делим пополам, получаем точку х* = 0, 75. Сравниваем значения функции на концах интервала и в найденной точке:

х x + cos (x2 + 2)
0, 5 -0, 1282
0, 75 -0, 0870
  0, 0100

Теперь функция меняет знак на интервале [0.75; 1]. Разбиваем его пополам и вычисляем значения функции в точках х = 0, 75; 0, 875; 1

х x + cos (x2 + 2)
0, 75 -0, 1282
0, 875 -0, 0870
  0, 0100

Функция меняет знак на интервале [0, 875; 1]. Делим его пополам. Получаем точки: х = 0, 875; 0, 9375; 1

х x + cos (x2 + 2)
0, 875 -0, 0870
0, 9375 -0, 0282
  0, 0100

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 9375 -0, 0282
0, 96875 -0, 0107
  0, 0100

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 96875 -0, 0107
0, 984375 -0, 0008
  0, 0100

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 984375 -0, 0008
0, 9921875 0, 0045
  0, 0100

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 984375 -0, 0008
0, 98828125 0, 0018
0, 9921875 0, 0045

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 984375 -0, 0008
0, 986328125 0, 0005
0, 98828125 0, 0018

и

х x + cos (x2 + 2)
0, 984375 -0, 0008
0, 9853515625 -0, 0001
0, 986328125 0, 0005

Т.к. |0, 9853515625 - 0, 986328125| < 0, 001, то процесс закончен и х ≈ 0, 9853515625 ≈ 0, 9854.

b) Применим метод хорд. Вычисляем первое приближение к корню по формуле:

 

где а = -10 и b = 10.

1. x = -10 – (-9, 8984)* (10 +10) \ (10, 1016 + 9, 8984) = - 0, 1016. Т.к заданная точность не достигнута (f(x) = -0, 5271 по модулю больше, чем 0, 001), то продолжаем процесс, вычисляя следующее значение корня х при а = - 0, 1016 и b = 10:

2. x = - 0, 1016 – (-0, 5271)* (10+ 0, 1016)\(10, 1016 + 0, 5271) ≈ 0, 39936

f (0, 39936) = -0, 1559, что недостаточно точно, т к |-0, 1559|> 0, 001

а = 0, 39936 и b = 10

3. x = 0, 39936 – (-0, 1559) * (10 - 0, 39936) (10, 1016 + 0, 1559) ≈ 0, 54527

f (0, 54527) = -0, 1190, |-0, 1190| > 0, 001

a = 0, 54527 и b = 10

4. x = 0, 54527 – (-0, 1190)* (10 - 0, 54527)\ (10, 1016 +0, 1190) ≈ 0, 65533

f (0, 65533) = -0, 1016

a = 0, 65533 и b = 10

5. x = 0, 65533 – (-0, 1016) * (10 -0, 65533)\(10, 1016 + 0, 1016) ≈ 0, 74838

f(x) = -0, 0872

a = 0, 74838 и b = 10

6. x = 0, 74838 – (-0, 0872)*(10 - 0, 74838)\(10, 1016 +0, 0872) ≈ 0, 82756

f(x) = -0, 0699

a = 0, 82756 и b = 10

7. x = 0, 82756 – (-0, 0699)* (10-0, 82756)\(10, 1016 +0, 0699) ≈ 0, 89041

f(x) = - 0, 0494

a = 0, 89041 и b = 10

8. x = 0, 89041- (- 0, 0494)*(10 - 0, 89041)\ (10, 1016 + 0, 0494) ≈ 0, 93975

f(0, 93975) = -0, 0207

a = 0, 93975 и b = 10

9. x = 0, 93975 – (-0, 0207)* (10 - 0, 93975) \ (10, 1016 + 0, 0207) ≈ 0, 95829

f (0, 95829) = - 0, 0169

a= 0, 95829 и b = 10

10. x = 0, 95829 – (- 0, 0169)*(10- 0, 0169)\(10, 1016 + 0, 0169) ≈ 0, 97496

f(x) = - 0, 0068

a = 0, 97496 и b = 10

11. x = 0, 97496- (- 0, 0068) (10 - 0, 97496)\(10, 1016 + 0, 0068) ≈ 0, 98103

f(x) = -0, 0030

a = 0, 98103 и b = 10

12. x = 0, 98103 – (0, 0030)* (10 - 0, 98103)\ (10, 1016 + 0, 0030) ≈ 0, 98371

f(0, 98371) = -0, 0012

a = 0, 98371 и b = 10

13. x = 0, 98371 - (-0, 0012)*(10- 0. 98371)\(10, 1016+ 0, 0012) ≈ 0, 98478

f(0, 98478) = -0, 0005 – заданная точность достигнута: f(x) < 0, 001

 

 

с) Применим метод Ньютона. Найдем начальную точку по формуле:

f' (x) = 1 – sin(x2 +2) * 2x

Тк из ранее полученных результатом, мы знаем в каком отрезке находится корень, для уменьшения вычислений возьмем в качестве х0 = 2. Получим таблицу:

x x2 + 2 f(x)= x + cos (x2 + 2) f' (x) = 1 – sin(x2 +2) * 2x хi
  6, 00000 2, 96017 2, 11766 0, 60215
0, 60215 2, 36258 -0, 10946 0, 15389 1, 31344
1, 31344 3, 72512 0, 47892 2, 44734 1, 11775
1, 11775 3, 24937 0, 12355 1, 24046 1, 01815
1, 01815 3, 03663 0, 02365 0, 78666 0, 98808
0, 98808 2, 97630 0, 00171 0, 67484 0, 98555
0, 98555 2, 97131 0, 00001 0, 66597 0, 98553
0, 98553 2, 97127 0, 00000 0, 66590 0, 98553

Достигнута нужная точность и найден корень уравнения: х = 0.98553.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал