Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Среднеквадратичного приближения
Требуется найти набор коэффициентов такой, что величина – среднеквадратичное отклонение (невязка) принимает наименьшее значение . Такая задача называется линейной задачей метода наименьших квадратов. Здесь в качестве критерия выбирается условие, что сумма квадратов отклонений во всех узлах сетки таблицы должна быть минимальной, т.е. . Существует несколько подходов к решению этой задачи. Простейший из них состоит в следующем: нужно использовать условие минимума функции как функции нескольких переменных для получения системы уравнений относительно . Заметим, что минимум функции достигается при том же наборе коэффициентов , что и при достижении минимума функции . Условие минимума функции можно записать следующим образом: . После дифференцирования и перемены порядка суммирования получим систему алгебраических уравнений: . (3) В том случае, когда в качестве базовых функций выбираются степенные функции , в роли аппроксимирующей функции выступает полином . Тогда система (3) упрощается: . Описанный метод построения многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения части называют методом наименьших квадратов. Построение многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения Пример: Зададимся , тогда . Функция в этом случае примет следующий вид , а условие минимума этой функции запишется следующим образом . Тогда приходим к необходимости решения следующей системы линейных алгебраических уравнений Зададимся , тогда . Тогда приходим к решению следующей системы Пример: Пусть функция задана таблицей своих значений
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эту функцию многочленами первой и второй степени. В практических расчетах для построения СЛАУ заполняют вспомогательную таблицу
.
Вычислим невязку для : Аналогично вычисляется невязка для : . На рисунке представлены графики кривыхмногочленов наилучшего среднеквадратичного приближения первой и второй степени.
|