Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Ссылки на дополнительные материалы (печатные и электронные ресурсы)






Основные:

1. Гутер Р. С. Овчинский Б. В. Элементы численного анализа и математической статистики.

2. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование MatLab. – М.: Изд. дом " Вильямс", 2001.

Тема 5.2. Введение в экстраполяцию
5.2.1. Введение Цели изучения темы · получить представление об основах теории интерполяции. Требования к знаниям и умениям Студент должен знать: · понятие экстраполирования; · особенности применения формул Ньютона для экстраполирования вперед и назад. Студент должен уметь: · применять формулы Ньютона для простейшего экстраполирования. План изложения материала 1. Экстраполяция. 2. Применение интерполяционных формул для экстраполяции. 3. Пример. Ключевой термин Ключевой термин: экстраполяция.

 

Экстраполяция

Выше были приведены примеры применения интерполяционных формул для отыскания значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице.

Эти же формулы могут быть использованы и для отыскания значений функции, соответствующих значениям аргумента, находящимся вне пределов таблицы, т. е. для экстраполяции.

Определение

Экстраполяцию можно определить, как отыскание значений таблично заданной функции, соответствующих значениям аргумента, находящимся вне пределов таблицы.

Применение интерполяционных формул для экстраполяции

Применение интерполяционных формул для экстраполяции ничем не отличается от рассмотренного в предыдущих примерах. Единственным различием является то, что при интерполировании по первой формуле Ньютона значение t оказывается положительным, а при экстраполировании – отрицательным. Для второй формулы Ньютона, наоборот, при интерполировании значение t отрицательно, а при экстраполяции – положительно.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Отметим, что экстраполяция, вообще говоря, дает большие ошибки, нежели интерполяция, и пределы ее применения ограничены.

Пример

Например, дана таблица значений функции y = sin x с шагом 5o с точностью до шести знаков в пределах от 15o до 55o (???). Вычислить значения sin x для углов от 10o до 15o через 1o.

x y = sin x Дy Д2y Д3y Д4y
15o 0, 258819 83 201 80 598 77 382 73 576 69 212 64 319 58 937 -2 603 -3 216 -3 806 -4 364 -4 893 -5 382 -5 829 -613 -590 -558 -529 -489 -447  
20o 0, 342020
25o 0, 422618
30o 0, 500000
35o 0, 573576
40o 0, 642788
45o 0, 707107
50o 0, 766044
55o 0, 819152

Разности мы записали в диагональную таблицу, ограничиваясь четвертыми, хотя они и не очень малы. Причем:

х0 = 15,

y0 = 0, 258819,

Дy0 = 0, 083201,

Д2y0 = -0, 002603,

Д3y0 = -0, 00613,

Д4y0 = 0, 000023.

Результаты вычислений приведены в???.

Вычисления велись в целых единицах шестого знака, причем во всех промежуточных выкладках сохранялся лишний знак, округляемый в окончательном результате. Сравнение с таблицей синусов показывает, что вычисленные значения синусов для углов 14o, 13o и 12o оказываются точными до шести знаков. Для угла 11° получились ошибки на две, а для угла 10o – на три единицы шестого знака. Эти ошибки объясняются тем, что для больших по абсолютной величине значений t нельзя было уже пренебрегать разностями более высокого порядка. Экстраполяция по второй интерполяционной формуле Ньютона производится точно так же. Что касается формулы Лагранжа, то для вычисления значения функции при любом x, т. е. и для интерполирования и для экстраполирования, требуется только подставить в формулу соответствующее значение аргумента.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
x t tДy0 t(t-1)/2*Д2y0 t(t-1)(t-2)/6*Д3y0 t(t-1)(t-2)(t-3)/24*Д4y0 y = y0+(3)+(4)+(5)+(6)
  -0, 2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -16640.2 -33280.4 -49920.6 -66560.8 -83201.0 -312.4 -728.8 -1249.4 -1874.2 -2603.0 +53.9 +137.3 +255.0 +411.9 +613.0 +1.7 +4.4 +8.6 +14.7 +23.0 0.241922 0.224952 0.207913 0.190811 0.173651

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал