Метод Эйлера. Заменяя в (1) производную в окрестности каждого i-го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:

Заменяя в (1) производную в окрестности каждого i-го узла сетки разностным отношением, приходим к методу Эйлера:

(2)

Алгебраические соотношения между компонентами сеточной функции, которыми заменяются исходные дифференциальные уравнения в окрестности каждого узла сетки, будем называть разностными уравнениями (соотношениями).

Замкнутую систему разностных уравнений вместе с дополни­тельными условиями (начальными или краевыми) называют раз­ностной схемой. Таким образом, (2) — это разностная схема Эйлера.

Последовательные значения y_i вычисляются по формуле

(3)

которая непосредственно следует из соотношения (2).

Метод Эйлера имеет очень простую геометрическую интер­претацию. Искомая интегральная кривая у(х) на отрезке [а; b] приближается к ломаной (рис. 2), наклон которой на каждом элементарном участке [ х_i, х_i+1 ] определяется наклоном инте­гральной кривой уравнения в точке (х_i, у_i).

Рис. 2.Интегральная кривая

Замечание. К этому же методу можно придти, заменяя производную в урав­нении (3) разностным отношением

Последовательные значения y_i в этом случае вычисляются по формуле

Однако при этом возникают некоторые трудности, связан­ные с тем, что искомая величина y_i входит в правую часть урав­нения, причем, в общем случае, нелинейным образом. Эти труд­ности непринципиальны, достаточно вспомнить о методах реше­ния нелинейных уравнений.

Например, можно предложить следующий итерационный процесс для вычисления приближенного решения в очередном i -м узле

Такого рода методы, в которых для вычисления приближен­ного решения в очередном i-м узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), на­зываются неявными методами. В противоположность этому мето­ды, в которых приближенное решение в очередном i-м узле явно выражается через предыдущие значения у_i-1, _уi-2,..., называются явными методами. При этом, если для вычисления y_i использу­ется только одно предыдущее значение у_м, то метод называется одношаговым, а если несколько предыдущих значений — многошаговым. Таким образом, метод Эйлера является явным одношаговым методом (рис. 3).

Рис. 3. Начальный шаг метода Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в табличной форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение у' = f(x, у). Найти приближенное численное решение этого дифференциального уравнения, т. е. составить таблицу приближенных значений функции у = у(х), удовлетворяющей заданным начальным условиям

где х_i = х₀ + ih, h = — шаг таблицы.

Приближенно можно считать, что правая часть в y'=f(x, у) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностными отношениями по приближенной формуле

y – y₀ = f(x₀, y₀)(x-x₀), y = y₀ + f(x₀, y₀)(x-x₀);

если x = x₁, то

y₁ = y₀ + f(x₀ , y₀)(x₁-x₀), y₁ = y₀ + hf(x₀ , y₀) y₀ = hf(x₀, y₀);

если x = x₂, то

y₂ = y₁ + f(x₁, y₁)(x₂-x₁), y₂ = y₁ + hf(x₁, y₁) y₁ = hf(x₁, y₁), …

если x = x_i+1, то

y_i+1 = y_i + hf(x_i, y_i) y_i = hf(x_i, y_i).

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул

y_k = hf(x_k, y_k), y_k+1 = y_k+ y_k,

где k = 0, 1, 2,..., n.

Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [ x_i; x_i+1 ] интегральная кривая заменяется отрезком касательной к кривой (рис. 4, 5).

Рис. 4. Интегральная кривая Рис. 5. Касательная к кривой

Пример 1. Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение

у' = у-х

с начальными условиями х₀ = 0; y₀ = 1, 5 на отрезке [0; 1, 5] при h = 0, 25.