Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Анализ функционирования системы массового обслуживания






 

Полагая, что покупатели прибывают в магазин «случайно» можно считать, что вероятность прибытия покупателя за любой малый промежуток времени [t, t+t], начинающийся в произвольный момент времени t и имеющий продолжительность t с точностью до пренебрежимо малых величин пропорционально величине t c некоторым коэффициентом l [5] > 0. Вероятность того, что за этот промежуток времени в магазин не прибудет ни одного покупателя может быть приблизительно оценена как 1-lt.

Исходя из этого, в теории вероятностей делаются выводы:

 

Ø промежутки времени t между двумя приходами покупателей подчиняются экспоненциальному распределению

j(t) = l*exp(-l*t), t ³ 0

Ø вероятность того, что за любой промежуток времени Т в магазин прибудет k покупателей (клиентов, заявок…) может быть определена как

т.е входной поток покупателей является пуассоновским.

 

l - интенсивность входного потока, т.е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

l = 1/t [ чел/мин; руб/час; чеков/час; кг/час…]

где t - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками (приходами покупателей).

 

Ø Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально.

f(t) = l*exp(-ntоч)

где n - интенсивность движения очереди(среднее число заявок, поступающих на обслуживание в единицу времени;

n = 1/tоч . tоч - среднее значение времени ожидания в очереди.

 

Ø Выходной поток заявок (заявок, прошедших обслуживание) связан с потоком обслуживания в канале СМО также, в большинстве случаев, подчиняется показательному закону распределения с плотностью

 

F(tобсл) = m*exp(-mtобсл) (1‑ 3)

 

где m - интенсивность обслуживания в канале (одним продавцом…), т.е. среднее число заявок (клиентов), обслуживаемых в единицу времени.

m = 1/tобсл = [ чел/мин; руб./день; кг./час; докум./день….]

 

Ø Одной из наиболее важных характеристик СМО, связывающей показатели l и m, является интенсивность нагрузки (r),

r = l/m, (1‑ 4)

 

которая показывает степень согласованности входного потока заявок с интенсивностью их обслуживания.

Величину r часто называют приведенной плотностью потока требования (заявок) или интенсивностью нагрузки - среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.

 

Важно заметить, что параметр r характеризует степень согласованности входного потока (например, покупателей в магазине) с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при r < n. Если же r ³ n, то в системе будет возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателей начала обслуживания, и, следовательно, проектируемая СМО будет работать неустойчиво.

F Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда n – канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более m требований). При этом, мы предполагаем, что входящий поток требований на обслуживание описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью l, а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью m.

 

Ø Вероятность того, что в системе отсутствуют требования (Р0) может быть определена по формуле:

 

 

 

 

(1‑ 5)

 

Ø Вероятность того, что в системе обслуживания находятся k требований на обслуживание (Pk) может быть определена как:

 

(1‑ 6)

 

 

(1‑ 7)

 

 

Отношение r/n часто обозначается через Х и называетсяуровнем загрузки системы.

 

Х = r/n (1‑ 8)

Если Х = r/n < 1, то очередь на обслуживание не образуется и система находится в стационарном состоянии, которое характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течении заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Ø Вероятность отказа в обслуживании требования (заявки, клиента…), если в систему поступает n+m [6] заявок на обслуживание

(1‑ 9)

Ø Вероятность обслуживания поступившей заявки (или относительная пропускная способность СМО)

 

Pобсл=1- Ротк. (1‑ 10)

 

Абсолютная пропускная способность системы (число фактически обслуженных требований в единицу времени)

 

А=l*Робсл. (1‑ 11)

среднее число занятых каналов[7] обслуживания

(1‑ 12)

 

так как А – это интенсивность потока обслуживания заявок, а каждый канал способен в единицу (в среднем) обслуживать m заявок.

 

Ø Коэффициент использования (занятости) каналов

 

Кзан = Х*Робсл = zср/n (1‑ 13)

Ø Коэффициент простоя каналов обслуживания

 

Кпрос=т = 1-Кзан = 1-Nср/n = 1-X*Pобсл. (1‑ 14)

Ø Среднее число требований (заявок) в очереди

Lср =1*Pn+1+2*Pn+2+…m*Pn+m =

(1‑ 15)

Ø Среднее время обслуживания требований

Тср(обсл) = Робсл/m (1‑ 16)

Ø Среднее время ожидания в очереди

 

Tср(ож. оч)= (1/nm)Pn+(2/nm)Pn+1…+(m/nm)Pn+m+1 =

 

(1‑ 17)

 

Так как, если заявка на обслуживание поступит в тот момент, когда все каналы заняты и очереди нет, то время ожидания составит в среднем 1/nm, а если заявка поступит в тот момент, когда в очереди находится одно требование на обслуживание, 2/nm и т.д.

 

Ø Среднее время пребывания заявки в СМО

 

Т ср. СМО = Tср(ож. оч) + tср(обсл (1‑ 18)

 

) Образование очереди возможно только тогда, когда вновь поступившая заявка застанет на обработке в системе не менее n требований на обслуживание[8], т.е когда в СМО будет находиться n, n+1, n+2, …n+m-1 требований на обслуживание. Учитывая то, что заявки в СМО поступают независмо друг от друга, вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты равна сумме вероятностей Рn, Pn+1, Pn+2, …Pn+m-1.

Отсюда вероятность образования очереди:

 

 

 

(1‑ 19)

 

Выше были приведены формулы для расчета основных характеристик СМО для случая, в котором допускается возникновение очереди при наличии ограничения на ее длину[9].

Если m=0, то мы имеем дело с первым частным случаем СМО – системы с отказами. Наиболее типичным примером такой СМО является работа стола заказов (или справочной службы) по телефону – если все телефоны заняты приемом заказов, то звонок нового покупателя получает отказ – сигнал занято.

В том случае, когда m ® ¥ [10], то получаем СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал