Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод рівнянь Кірхгофа






В цьому методі розглядаються складні електричні кола, особливо такі, в яких діють дві або більше ЕРС, увімкнені у різні вітки схеми. Розв'язання та­ких задач методом перетворення достатньо складне, а в деяких випадках, й неможливе. Пропонований нижче метод рівнянь Кірхгофа дає змогу розв'язувати як завгодно складні електричні схеми без їх трансфігурацій.

Нехай складне коло складається з р віток, має q вузлів (рис. 1.39) і кількість контурів n = р – (q – 1). Як правило, для електричних схем відомі параметри віток – їх опори, та значення і напрямки діючих в схемі ЕРС. Розрахунок буде зводитися до розрахунку значень струмів у вітках схеми, хоча завдання може ставитися й по-іншому.

Оскільки схема має р віток, то невідомих струмів у схемі буде теж p і для їх розрахунку треба скласти p рівнянь.

За першим законом Кірхгофа (S I = 0) можемо скласти q –1 лінійно неза­лежних рівнянь (на одиницю менше ніж вузлів). Застосовуючи другий закон Кірхгофа , можна скласти стільки рівнянь, скільки лінійно незалежних замкнутих контурів (n) має схема. Для незалежності рівнянь або, як кажуть, для незалежності контурів, ці конту­ри необхідно вибирати так, щоб кожен наступний контур відрізнявся від по­передніх, принаймні однією новою віткою. Ця умова є достатньою, але не зав­жди необхідною. Наприклад, якщо розглянути схеми (рис. 1.40) і вибирати контури в такій послідовності, як показано на схемах, то всі вітки для контурів: 3-у схемі (а), 4-у схемі (б) та 5 – у схемі (в) вже увійшли в рівняння попе­редніх контурів, але кількість рівнянь для контурів цих схем ще буде недос­татньою. В таких випадках недостатню кількість рівнянь за другим законом Кірхгофа складають для контурів, всі вітки яких уже увійшли в попередні кон­тури. Отже, критерієм визначення кількості лінійно незалежних контурів є співвідношення n = р – (q – 1).

p=4 q=2 n=3
p=9 q=6 n=4
p=12 q=8 n=5

 

Отже, за законами Кірхгофа можна скласти (q – 1)+(q – 1)+ p – (q –1) = р рівнянь. А це означає, що кількість рівнянь буде дорівнювати кількості невідо­мих струмів (р) у вітках схеми. Розв'язавши сумісно ці рівняння, одержимо числові значення струмів віток схеми.

Послідовність проведення розрахунку така: 1) для заданої електричної схеми визначаємо кількість вузлів (q), віток (р) і контурів (n); 2) вибираємо умовно-додатні напрямки струмів у вітках схеми (довільно); 3) за першим за­коном Кірхгофа складаємо

(q – 1) рівнянь, а за другим законом n рівнянь; реко­мендується для всіх контурів вибирати однакові додатні напрямки їх обходу, наприклад, всі за годинниковою стрілкою (чи проти); 4) сумісно розв'язуємо складену систему рівнянь і одержуємо числові значення струмів віток.

Якщо в результаті розрахунку кола які-небудь струми будуть виражені від'ємними числами, то це означає, що напрям руху додатних зарядів спрямо­вані протилежно вибраним умовно-додатним напрямам струмів цих віток. Напрямлення стрілок струмів цих віток змінювати не треба.

Розрахунок електричних кіл методом рівнянь Кірхгофа є основним. За допомогою цього методу можна розрахувати будь-яке електричне коло. Однак цей метод громіздкий, тому що вимагає розв'язування системи з кількістю рівнянь, що дорівнює кількості віток кола. Всі інші методи, які застосовуються для розрахунку електричних кіл, базуються на законі Ома і законах Кірхгофа.

Баланс потужності в електричному колі. В § 1.9 формулою (1.49) був виражений баланс потужності в електричній схемі, яка складалась з послідов­ного сполучення Е, r 0 та R 11. Якщо електричне схема має р віток, в кожній вітці є резистивний опір r, джерело ЕРС Е з внутрішнім опором r0, то баланс потужності в такій схемі визначається виразом:

(1.73)

де Е К І К – потужність генератора (джерела електроенергії) k -і вітки; r 0k I k2 – потужність, яка витрачається на внутрішньому опорі самого генератора; r k I k2 – потужність, яка виділяється в опорі r к k -ї вітки.

Компоненти Е k І k можуть бути як додатними, так і від'ємними. Якщо Е к І к> 0 то відповідні джерела ЕРС працюють у режимі генераторів, а якщо Е к І к< 0 – то в режимі приймачів електричної енергії.

Розрахунок складного електричного кола за методом рівнянь Кірхгофа проілюструємо на прикладі.

Приклад 1.2. Розрахувати струми у всіх вітках електричного кола, схема якого

наведена на рис. 1.42. Параметри елементів електричного кола мають такі зна­чення:

Е = 50 В, r 01 = 2 Ом,

r 1 = 18 Ом, Е 2 = 20 В, r 02 = 1 Ом,

r 2 = 9 Ом, r 3 = 30 Ом, r 4= 40 Ом,

Е 5 = 100 В; r 05=2Ом, r 5 =48 Ом,

r б=30 Ом, E 7 = 50 В, r 07 =0, r 7 = 10 Ом.

1. Визначимо кількість вузлів, віток і контурів: q = 4, р = 1, n = 4.

2. Довільно вибираємо і позначаємо на схемі умовно-додатні напрями струмів у вітках.

3. Складаємо q -1 = 4-1 = 3 рівняння за першим законом Кірхгофа (для вузлів 1, 2, 3), та n =4 рівняння за другим законом Кірхгофа для контурів I-IV, прийнявши додатні напрямки обходу контурів за годинниковою стрілкою:

1. – I 1I 2+ I 5=0

2. I 1+ I 2I 3I 4=0

3. I 3+ I 6+ I 7=0

4. (r 1+ r 10) I 1–(r 2+ r 20) I ­2­= E 1E 2

5. (r 2+ r 20) I ­2­+ r 4 I 4+(r 05+ r 5) I ­5­= E 2E 5

6. r 3 I 3r 4 I 4r 6 I 6=0

7. r 6 I 6–(r 7+ r 07) I 7= – E 7

В систему рівнянь (1...7) підставимо числові значення величин Е, r 0 та r.

1. – I 1I 2+ I 5=0

2. I 1+ I 2I 3I 4=0

3. I 3+ I 6+ I 7=0

4. (18+2) I 1–(9+1) I 2=50-20

5. (9+1) I 2+40 I 4+(48+2) I 5=20-100

6. 30 I 3–30 I 6–40 I 4=0

7. 30 I 6–(0+10) I 7=50

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо числові значення струмів віток схеми:

I 1=0, 608 А; I 2 = -1, 783 А; I 3 = -1, 090 А; I 4 =-0, 084 A; I 5 = -1, 175А; I 6 = -0, 977А; I 7 = 2, 067 А.

Струми I 1 та I 7 (зі знаком " плюс") в електричному колі мають таке спря­мування, яке позначено на схемі, а решта струмів (зі знаком " мінус") мають в елек­тричній схемі протилежне спрямування (напрями стрілок змінювати не треба).

За формулою (1.73) складемо баланс потужностей. Потужність джерел електричної енергії:

Втрати потужності в самих джерелах електроенергії:

Потужність, яка витрачається в опорах віток схеми:

Отже, 216, 671 – 6, 684 = 208, 987 Вт, що дорівнює потужності, яку генера­тори ЕРС виділяють в опорах схеми. Збігання числових даних підтверджує правильність розв'язання задачі.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал