Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Оценка устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица
При исследовании системы с использованием критерия устойчивости Гурвица, рассматривается характеристический полином замкнутой системы. По Гурвицу для устойчивой системы должны соблюдаться два условия: 1-Коэффициенты характеристического полинома должны быть больше нуля. 2-Должны быть положительны определители, составленные из этих коэффициентов. Характеристический полином замкнутой исследуемой системы с добавлением регулятора имеет следующий вид (6.0.) Произведем проверку по алгебраическому критерию Гурвица: 1- С0= , С1=730, С2=52, 6, С3=1, 6, С4=0, 02 > 0следовательно первый критерий выполняется. 2- Вычислим определители, составленные из этих коэффициентов. Для системы четвертого порядка имеем: Δ 3= С1 С2 С3 - С4 - С0 = 46785, 2 > 0. Определитель получился положительным, следовательно, критерий устойчивости Гурвица подтверждает устойчивость разработанной системы. 3.2. Построение области устойчивости в плоскости параметров Тд и Кр Исследование проводится методом D – разбиения, изложенным в [2], область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы. Характеристический полином системы имеет вид: (7.0.) Видоизменим характеристический полином и представим его в виде: (7.1.) Преобразуем характеристический полином к виду, удобному для построения. = Преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс путем подстановки p=iw. (7.2) Далее находим вещественную X(w) и мнимую Y(w) части характеристического комплекса, затем параметрические уравнения границы устойчивости системы (по критерию Михайлова). X(w)=0 Y(w)=0 В нашем случае получаем X(w)= =0 (7.2.) Y(w)= Произведем с системой (7.2.) ряд преобразований: k=
k= (7.3) (7.4.) . Зададим ряд значений w в приделах и построим график зависимости и . Так как частота w входит в параметрические выражения границы области устойчивости (3.2.3.) в четной степени, то достаточно рассмотреть только область положительных частот , поскольку при отрицательных значениях частоты, будут получаться те же точки, что и при соответствующих положительных значениях частоты. По табличным данным производим построение колебательной границы устойчивости. Определим дополнительные границы области устойчивости, для этого приравняем к нулю первый коэффициент характеристического многочлена (7.2.) и его свободный член: (7.5.) .
K=0; (7.6.) T=0. Для определения расположения области устойчивости относительно границ воспользуемся правилом штриховки [2], для этого составим определитель вида где k(w) и T(w) – исследуемые параметры. В нашем случае, на основании (7.6.) получаем:
Δ = = По правилу штриховки, следует, что если D> 0, граница штрихуется слева при движении по ней в направлении от к , а если D< 0, то справа в тех же условиях. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости. В нашем случае , следовательно D может принимать как положительные, так и отрицательные значения. То есть при отрицательных значениях w D< 0, а при положительных w D> 0. Так как w входит в параметрические уравнения (7.4.) в четной степени, штриховка дополнительных границ устойчивости производится по смыслу. Необходимо произвести проверку построения области устойчивости. Для этого на получившемся графике (см.рис.9.) отметим контрольную точку Мконтр, с координатами и , соответствующими параметрам нашей системы терморегулирования Она попадает в построенную область устойчивости, следовательно, можно в первом приближении полагать, что область устойчивости построена верно.
Рис.9. Область устойчивости
|