Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий






 

Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице 2.2 представлен анализ такой совокупности.

Таблица 2.2 - Определение исходной совокупности по группам

Значение признака х Число единиц в j -й группе Итого
  j l
х 1 f 11 f 1 j f 1 l
хi fi 1 fij fil
хk fk 1 fkj fkl
Итого

Здесь j – номер группы ();

хii -е значение признака ();

fij – частота i -го значения признака, число единиц в j -й группе;

mi – сумма частот i -го значения признака в каждой группе;

nj – сумма частот всех значений признака в j -й группе;

N – сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).

Сначала вычисляем l частных средних (), т.е. среднее значение признака в каждой группе:

. (2.22)

На основе частных средних определяем общую среднюю () по формулам

или . (2.23)

 

Общая дисперсия совокупности

. (2.24)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:

. (2.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :

или . (2.26)

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

. (2.27)

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:

. (2.28)

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое – средняя из внутригрупповых дисперсий – измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе – межгрупповая дисперсия – вариацию между средними этих частей.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации2) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.

. (2.29)

Эмпирическое корреляционное отношение (η) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.

. (2.30)

η 2 и η [0, 1]. (2.31)

Если связь отсутствует, то h = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (δ 2=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.

Если связь функциональная, то h = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.

Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками (таблица 2.3).

Таблица 2.3 - Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)

Значение Характер связи   Значение Характер связи
η = 0 Отсутствует   0, 5 ≤ η < 0, 7 Заметная
0 < η < 0, 2 Очень слабая   0, 7 ≤ η < 0, 9 Сильная
0, 2 ≤ η < 0, 3 Слабая   0, 9 ≤ η < 1 Весьма сильная
0, 3 ≤ η < 0, 5 Умеренная   η = 1 Функциональная

Пример 2.1.

Определим групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным о производи­тельности труда в двух бригадах:

Изготовлено деталей за час, шт. (производительность труда) Количество рабочих, имеющих соответствующую производительность труда
в бригаде 1 в бригаде 2
хi fi 1 fi 2
     
     
     
     
     
     

 

Промежуточные расчеты занесем в таблицы:

 

хi Бр. 1 Бр. 2 mi Промежуточные расчеты для определения средних величин
fi 1 fi 2 хi·fi 1 хi·fi 2 хi·mi
             
             
             
             
             
             
Σ n 1=10 n 2=10 N =20 Σ хi·fi 1=138 Σ хi·fi 2=178 Σ хi· mi =316

 

хi Промежуточные расчеты для определения дисперсий
(хi ) (хi ) (хi) (хi )2· fi 1 (хi )2· fi 2 (хi)2· mi
  -3, 8 -7, 8 -5, 8 14, 44 0, 00 33, 64
  -1, 8 -5, 8 -3, 8 9, 72 0, 00 43, 32
  0, 2 -3, 8 -1, 8 0, 12 14, 44 12, 96
  2, 2 -1, 8 0, 2 9, 68 9, 72 0, 20
  4, 2 0, 2 2, 2 17, 64 0, 08 14, 52
  6, 2 2, 2 4, 2 0, 00 19, 36 70, 56
Σ 51, 60 43, 60 175, 20

 

Средняя производительность труда для 1-й бригады:

= 13, 8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 2-й бригады:

= 17, 8 шт./ч.

Средняя производительность труда для 1-й и 2-й бригады:

= 15, 8 шт./ч.

Дисперсия 1-й группы (бригады) = 5, 16 Дисперсия 2-й группы (бригады) = 4, 36
Средняя из групповых дисперсий = 4, 76 Межгрупповая дисперсия = 4, 0
Общая дисперсия =8, 76
Проверка по правилу сложения дисперсий: = 4, 76 + 4, 00 = 8, 76
     

 

Эмпирический коэффициент детерминации:

= 0, 457 = 45, 7%.

Отсюда можно сделать вывод, что общая вариация производительности труда на 45, 7% обусловлена вариацией между группами.

Эмпирическое корреляционное отношение

= 0, 6757.

Значение h = 0, 6757 показывает заметную связь по шкале Чэддока (см. таблицу 2.3) между исследуемым явлением (производительностью труда) и группировочным признаком (бригады).



Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.009 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал