Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнения Лагранжа
Для определения уравнений движения в обобщенных координатах обратимся к общему уравнению динамики: . Пусть система имеет k степеней свободы. Тогда , . Подставляя в общее уравнение динамики, получим: или , где – обобщенные силы инерции, которые равны . Так как , то (1) Выразим обобщенную силу через кинетическую энергию. Имеем , (2) так как Заметим, что , . Подставим полученные выражения в уравнение (2): . Тогда уравнение (1) примет вид: , где Т – кинетическая энергия. Аналогичные выражения получаем для всех остальных обобщенных координат. Поскольку , то Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II-го рода (уравнения в частных производных). Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы. Основные преимущества использования уравнений Лагранжа при решении задач: 1) количество уравнений не зависит от количества тел, входящих в систему; 2) данный способ позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные реакции связей. Пример. Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма т 1, т 2и т 3. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F 01, F 12 и F 23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. Решение. Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: , тогда обобщенные скорости выразятся как Вычислим кинетическую энергию системы. Т.к. звенья 1, 2 и 3 двигаются поступательно, то Вычислим частные производные от кинетической энергии: ; ; , ; ; . Далее, дифференцируя по времени, получим: Для определения обобщенной силы сообщим системе перемещение . При этом работу совершит движущая сила , направленная вверх, и силы тяжести всех 3-х звеньев: . Многочлен, стоящий в квадратных скобках, является обобщенной силой: . Аналогично вычислим обобщенные силы и : , тогда . Силы тяжести не совершают работу, т.к. движение вдоль оси y происходит по горизонтали, поэтому , откуда . Запишем полученные дифференциальные уравнения движения:
|