Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сезонная волна
Используем ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом: (6) В этом уравнении величина определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов. (7) Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает следующие формулы для вычисления параметров: (8) Как видно из формул, параметры уравнений зависят от значений у и связанных с ними последовательных значений cos(kti) и sin (kti.). Для изучения сезонных колебаний на протяжении выбранного периода (года) необходимо взять n = 12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать в следующем виде: Таблица 4
Величины периодов получаются следующим способом: При , при и т.д. При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0, 5; 0, 866; 1, взятые со знаком «плюс» или «минус». Вычисления синусов и косинусов разных гармоник приведены в табл. 5. Таблица 5
Вычисление синусов и косинусов годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров ак и bк находят соответствующие уравнения для гармоники. Для первой гармоники, т.е. для , уравнение примет вид: (9) в котором параметры a0, a1 и b1, будут найдены из соотношений: Уравнение модели с учетом только первой гармоники (рис. 9) будет иметь следующий вид: Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 6). Таблица 6
Находим вторую гармонику Фурье: , Уравнение модели с двумя гармониками будет иметь следующий вид: Таким образом, можно сказать, что мы нашли аналитическое выражение циклической (сезонной) составляющей Vt. Итак, построим общую модель ряда представляющую произведение составляющих U и V без случайной компоненты, а именно: Полученное уравнение — модель ряда yt, для которого известны составляющие Ut, Vt. Случайную составляющую Еt, можно получить следующим образом: Поскольку , и , — известные величины, то найти Еt, нетрудно. Модель, учитывающая составляющие Ut, Vt, Et для данного ряда, может быть записана так: График исходного динамического ряда, тренда и общей модели ряда у0 представлен на рис.3. Исследуем качество модели. Так как методика оценки качества аналогична методике оценки качества линейной модели, подробно излагать ее не будем, а приведем лишь основные расчеты. 1. Проверка случайностей уровней на основе критерия поворотных точек. = 23 — число поворотных точек (табл.7). > Р - целая часть от где п — число членов ряда. Следовательно, > Р, так как 23 > 17, и свойство случайностей выполняется. Таблица7
|