Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Критерий Пирсона.Стр 1 из 16Следующая ⇒
Выборка. Табл. 3.3
Найдём x min = –2, 74 и x max = 2, 61. Размах выборки, согласно (180), будет равен R = x max – x min = 5, 35. Ширина интервала, вычисленного по (181) и округлённая до чётного значения сохраняемого числа, принимает значение c = R / k ≈ 0, 54. Далее, оперируя формулой (182), вычисляем границы интервалов x j +1 = x j + c, (колонка 2, Табл. 3.4). В колонках 3 и 4 той же таблицы для каждого интервала зафиксированы выборочные наблюдённые и накопленные частоты: ν j = xi [x j ; x j +1[, (183) Nj = = Nj -1 + ν j. (248) В 5 -ой колонке вычислены эмпирические значения статистической функции распределения, соответствующие частотам, накопленным к j -му интервалу: F j = Nj / n. (249) Соседняя, 6 -ая колонка включает значения гипотетической (стандартной нормальной) функции распределения F (t), определяемой по границам ξ = t: F (t) = – dt. (78) Последняя, 7 -ая колонка содержит абсолютные значения разностей Φ j – Fj. Табл. 3.4
Максимальное абсолютное значение такой разности принимаем за эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова: D Э = |Φ j - Fj | = 0, 0215. Критическое значение критерия на уровне значимости a = 0, 05 определяем по формуле (246) или (247). Для выборки объёмом в 120 элементов оба результата совпадают в пределах 0, 001: D T = 0, 124. Итак, нулевая гипотеза H 0 = { X N (E (X) = 0; s x = 1)} не отвергается, поскольку неравенство D Э > D T не выполнено. Таким образом, параметры генератора стандартных нормальных чисел { E (X) = 0; s x = 1 }, построенного с использованием ЦПТ, можно признать не противоречащими выдаваемым результатам. Критерий Пирсона. Как было отмечено в начале раздела 3.3.1, можно анализировать отклонения выборочных частот n j статистического ряда от гипотетических частот для тех же интервалов nj = pj · n. В качестве меры расхождения выборочных и гипотетических частот К. Пирсон, как это изложено в [19], опираясь на принцип наименьших квадратов, предложил вычислять величину , (250) которая, при , имеет распределение c2 с r = k – 1 степенью свободы, где k – число интервалов статистического ряда. Это справедливо в предположении, что гипотетическая функция распределения F 0 полностью определена, т.е. в её выражении не содержится никаких неизвестных параметров. На практике мы сталкиваемся с двумя нарушениями теоретических предпосылок вывода Пирсона: 1) отдельные интервалы содержат менее десяти частот nj; 2) гипотетическая функция распределения F 0 определена с точностью до оценок её m параметров, найденных по выборке. Первое нарушение можно исправить, объединив s малообъёмных интервалов с соседними, для того, чтобы расширенные интервалы имели не менее десяти частот nj. Некоторые авторы [14] смягчают это требование до пяти единиц. Естественно, что число интервалов уменьшится и станет равным = k – s. Второе нарушение предложил учитывать Р. Фишер [19]. Для важного класса методов оценивания m параметров генеральной совокупности по выборке необходимо дополнительно уменьшать число степеней свободы критерия c2 r на количество оцениваемых параметров: r = – m – 1. Эмпирическое значение критерия Пирсона , найденное по формуле (250), сопоставляется с теоретическим значением , представляющим собой двухсторонний доверительный интервал, нижняя и верхняя границы которого – это квантили распределения c2 с r степенями свободы: = [ ; ]. (251) Нулевая гипотеза (242) отвергается, когда . (252) Задача 3.28. Для простой выборки, объёмом 120 элементов, приведённой в таблице 3.3, проверить по критерию Пирсона нулевую гипотезу о нормальности генеральной совокупностиH 0 = { X N (E (X) = ; s x = s)} против альтернативной гипотезы H a = { X N (E (X) = ; s x = s)}. Параметры генеральной совокупности и s оценить по статистическому ряду. Преобразование выборки (Табл. 3.3) в статистический ряд выполняем аналогично тому, как это было сделано в Задаче 3.27, и размещаем результаты в Табл. 3.5. Первые три колонки обеих таблиц идентичны. Табл. 3.5
Для оценивания параметров E (X) и σ x гипотетического распределения вычисляем середины интервалов = (x j +x j +1) / 2 (253) и размещаем результаты в колонке 4. Оцениваем первый параметр гипотетического распределения – E (X): = () / n = 0, 01. (186) В колонке 5 выполнено центрирование средин интервалов: , (254) значения которых используются для нахождения центральных статистических моментов: = () / n. (187) Промежуточные вычисления для центральных статистических моментов первого и второго порядков (r =1; 2) заносим в колонки 6 и 7. Центральный статистический момент первого порядка контролирует правильность нахождения среднего статистического: = () / n. = 0. (255) Оценка второго параметра нормального распределения σ x, найденная с помощью формулы (187), близка к единице: = s = 1, 015. Нормированные границы t (колонка 8) находят по формуле t = (x – a) / b, (67) используя в качестве параметров a и b их статистические оценки: и = s. Значения стандартной нормальной функции выбирают из Приложения Л и вписывают в колонку 9. Для упрощения первую и последнюю границы открывают на минус и плюс бесконечность, соответственно: F (t 1 = – ∞) = 0 и F (tk +1 = =∞) = 1. В колонке 10 располагают значения гипотетических интервальных частот: nj = [ F (tj +1) – F (tj)]· n, (256) Последняя, 11 -ая колонка – это слагаемые «уменьшаемого» второго варианта предложенной выше формулы (250) критерия Пирсона: (257) В соответствие с ограничениями, накладываемыми на использование этого критерия (см. начало данного параграфа), гипотетические и, как следствие, эмпирические частоты 1 -го и 2 -го, а также 9 -го и 10 -го интервалов были объединены. Общее число интервалов k ¢ уменьшилось до 8 -ми. Эмпирическое значение критерия Пирсона оказалось равным = 4, 2. Теоретические значения того же критерия на уровне значимости a= 0, 05 оказались равными = [0, 8; 12, 8]. (258) Окончательное решение по проверяемой гипотезе выглядит следующим образом: «Нулевая гипотезаH 0 = { X N (E (X) = = 0, 012; s x = s =1, 015)} не отвергается, так как ». 3.3.2 Гипотезы о равенстве дисперсий.
|