Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вычисление момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.






Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z, y;

Jz=∫ Fy2dF-момент инерции относительно оси z

Jy=∫ Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫ FzydF

Повернем оси у, z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z1, y1;

Jy1z1=∫ Fz1y1dF

Jy1=∫ Fz21dF

Jz1=∫ Fy21dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z1, y1 выражаются через координаты z, y прежней системы осей следующим образом;

Z1=OC+AD=zcosα +ysinα

y1=CB=BD-EA=ycosα -zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

Jz1=∫ F(ycosα -zsinα)2dF= =c =cos2α ∫ Fy2dF+sin2α ∫ FZ2dF- -sin2α ∫ FyzdF

Jy1=∫ F(zcosα +ysinα)2dF= =sin2α ∫ Fy2dF+cos2α ∫ FZ2dF+sin2α ∫ FzydF

Jy1z1=∫ F(zcosα +ysinα)(ycosα -zsinα)dF=(cos2α -sin2α) ∫ FzydF+(1/2)sin2α (∫ Fz2dF-∫ Fz2dF)

Окончательно находим;

Jz1=Jzcos2α +Jysin2α -Jzysin2α

Jy1=Jycos2α +Jzsin2α -Jzysin2α

Jz1y1=Jzycos2α -(1/2)(Jy-Jz)· ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

JUV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z, y на некоторый угол α 0, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

Jz1y1=JVU=0

Тогда из формулы

Jz1y1=Jzycos2α -(1/2)(Jy-Jz)·sin2α

получим

Jz1y1=Jzycos2α 0-(Jy -Jz)2(sin2α 0)

Откуда

tg2α 0=2Jzy/Jy-Jz

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

Jz1=Jzcos2α +Jysin2α - Jzysin2α

Jy1=Jycos2α +Jzsin2α -Jzysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α =α 0

Jz1=Jzcos2α 0+Jysin2α 0 -Jzysin2α 0

Jy1=Jycos2α 0+Jzsin2α 0-Jzysin2α 0

Если исключить α 0 из трех уравнений (Jz1, Jy1, Jz1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

JU=1/2[(Jz+Jy)±√ (Jz-Jy)2+4J2zy]

JV=1/2[(Jz+Jy)±√ (Jz -Jy)2+4J2zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный момент инерции равен 0

2)относительно V, U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал