Методика построения логарифмических частотных характеристик САУ 2 страница

Пример 3

Передаточная функция объекта имеет вид

Определить настройки параметров ПИД-регулятора по отклику на изменение уставки метода CHR.

1. Определяем параметр а из выражения:

= =0, 143.

2. Определяем параметры ПИД – регулятора по формулам таблицы 3

(без перерегулирования):

k_p = 0, 6/ a = 4, 196;

Т_и = 10 /k_p =10*0, 4/4, 196 = 0, 95c; k_u = 1/ Т_и = 1, 0526c^-1;

Т_д = 0, 5 k_p = 0, 5*0, 4*4, 196 = 0, 839c; k_д = Т_д = 0, 839c.

3. Составляем скрипт для определения переходных характеристик исходной и

скорректированной замкнутых систем.

kp=4.196;

ki=1.0526;

kd=0.839;

numo=[1];

deno=[2.8 1];

Wo=tf(numo, deno)

[nums, dens]=pade(0.4, 2)

Ws=tf(nums, dens)

numi=[ki];

deni=[1 0];

Wi=tf(numi, deni)

numd=[kd 0];

dend=[1];

Wd=tf(numd, dend)

Wsr=minreal(Wo*Ws/(1+Wo*Ws))

step(Wsr)

%Wsrpid=minreal((kp+Wi+Wd)*Wo*Ws/(1+(kp+Wi+Wd)*Wo*Ws))

%step(Wsrpid)

4. Определяем переходную характеристику исходной (нескорректированной) системы, произведя «Пуск» скрипта п.3 в Matlab.

5. Определяем переходную характеристику скорректированной системы, сняв знак % в последних двух строках скрипта и установив % в двух предыдущих строках.

6. Модель скорректированной системы в Simulink и графики переходных характеристик

исходной и скорректированной систем приведены на рисунках.

4. Настройка параметров регуляторов по критерию модульного (технического) оптимума.

При проектировании и наладке систем управления объектами, не содержащими чистого запаздывания, наибольшее применение получили два критерия – модульный оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО) (рис. 1).

Рис.1. Частотные и переходные характеристики одноконтурной САУ, настроенной по критериям модульного (а) и симметричного (б) оптимумов

Критерий модульного оптимума, называемый также критерием амплитудного, или технического, оптимума, заключается в выполнении следующих требований к форме амплитудной характеристики замкнутой системы по каналу управления (рис.2): характеристика в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равна единице, наклонный участок характеристики должен быть как можно более крутопадающим, т. е. критерий модульного оптимума требует, чтобы настраиваемая система приближалась по своим частотным передаточным свойствам к идеальному фильтру низкой частоты, имеющему прямоугольную частотную характеристику.

Рис. 2. Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы по каналу

управления

Тогда, при отсутствии помехи на входе, система (рис. 3) будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие и подавлять возмущение . При наличии на входе высокочастотной помехи частоту пропускания системы выбирают тоже достаточно большой, но по компромиссному условию совместной фильтрации всех действующих сигналов.

Рис. 3. Алгоритмическая структура исходной САУ

Настройка системы по критерию МО обеспечивает малое перерегулирование и достаточно быстрое протекание переходного процесса:

. (1)

Эти верхние пределы показателей качества соответствуют идеальному фильтру низкой частоты, который практически нереализуем.

Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоугольной характеристике идеального фильтра, имеет фильтр Баттерворта, у которого АЧХ

. (2)

На практике обычно используют фильтры с порядком n = 2…8.

Колебательная модель

(3)

замкнутой системы при коэффициенте демпфирования имеет амплитудную характеристику

, (4)

отсюда , (5)

соответствующую частному случаю фильтра (2) с n =2.

Таким образом, в рамках приближённой модели (3) критерию МО соответствует значение коэффициента демпфирования

(6)

при этом главные показатели качества

, (7)

где - частота собственных незатухающих колебаний замкнутой системы

(при ), характеризующая полосу пропускания фильтра; - постоянная времени

разомкнутого контура системы.

Для колебательной модели (3) нестрогий критерий МО обеспечивает одновременно минимум квадратичной интегральной оценки

(8)

и улучшенной интегральной оценки

(9)

с весовым коэффициентом .

При настройке систем более высокого порядка (n > 2) по критерию МО можно обходиться и без приближённой модели (3). Для этого передаточную функцию замкнутой системы по каналу управления

(10)

приводят к нормированному виду

, (11)

где = - оператор Лапласа, соответствующий безразмерному (относительному) времени = ; - масштабный множитель

; (12)

безразмерные коэффициенты

. (13)

Чтобы обеспечить желаемую форму амплитудной характеристики, близкую к прямоугольной, коэффициенты нормированной функции (11) выбирают в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта (табл. 1).

Таблица 1

При таких сочетаниях коэффициентов амплитудная характеристика фильтра принимает вид (2), причём , а относительная частота соответствует значению амплитудной функции, равному 0, 7 (при ).

Масштабный множитель не влияет на форму переходного процесса и служит обобщённой мерой быстродействия системы. Его значение можно выбрать, исходя из требуемых показателей быстродействия и , по следующим приближённым формулам:

, (14)

где n – порядок полинома Баттерворта.

Найденное по этим формулам значение обеспечивают за счёт выбора по формуле (12) соответствующего общего передаточного коэффициента разомкнутого контура k, который, как известно, входит в свободный член : - для статических систем, - для астатических систем.

Применительно к колебательной модели (3) параметры фильтра Баттерворта

. (15)

В системах, параметры которых выбраны в соответствии со стандартными полиномами Баттерворта, перерегулирование

(16)

Указанные выше значения длительности переходного процесса и перерегулирования строго выдерживаются только в тех случаях, когда числитель передаточной функции (10) не содержит слагаемых с оператором p. Тем не менее и для систем с более сложным полиномом числителя можно пользоваться рекомендуемыми значениями коэффициентов Баттерворта. При этом также обеспечивается достаточно хорошее качество переходного процесса. Кроме того, настройки, соответствующие полиномам Баттерворта, могут использоваться как исходные, отправные для отыскания оптимальных настроек систем, передаточные функции которых имеют числитель в виде полинома от p.

Пример 4

Пусть исходная часть системы, состоящая из функционально необходимых элементов, описывается передаточной функцией

, (17)

где 1 с, 2 с.

Требуется определить настроечные параметры и последовательно включаемого корректирующего устройства

(18)

и общий передаточный коэффициент k, обеспечивающие критерий МО и желаемую длительность переходного процесса с.

Передаточная функция замкнутой системы по каналу управления

. (19)

Не обращая внимания на наличие полинома в числителе этой передаточной функции, будем подбирать настроечные параметры так, чтобы безразмерные коэффициенты полинома знаменателя соответствовали фильтру Баттерворта.

Определим вначале масштабный множитель , ориентируясь на приближённое соотношение (14):

с. (20)

Теперь в соответствии с формулой (12) можно найти необходимое (для заданного быстродействия) значение общего передаточного коэффициента:

с^-1. (21)

Для оба безразмерных коэффициента Баттерворта, согласно табл. 1, должны быть равны 2:

, (22)

. (23)

Решая совместно эти два уравнения, получим с и с.

Применим изложенный метод оптимизации амплитудной характеристики для расчёта настроечных параметров типовых регуляторов:

П – регулятор ; (24)

И – регулятор ; (25)

ПИ – регулятор ; (26)

ПД – регулятор ; (27)

ПИД – регулятор (28)

или

, (29)

используемых для управления следующими инерционными объектами второго – третьего порядков без запаздывания:

; (30)

; (31)

; (32)

. (33)

Типовые регуляторы обычно используются для управления инерционными объектами второго – третьего порядков без запаздывания, в которых , причём в общем случае сомножитель с наименьшей постоянной времени приближённо заменяет собой несколько инерционных звеньев с ещё более малыми постоянными времени , т.е.

. (34)

Приведенные в табл. 2 модели обычно используются для приближенного описания объектов, входящих в типовые контуры регулирования систем управления электроприводами (контуры регулирования напряжения, тока и частоты вращения).

Таблица 2

Для снижения и устранения больших перерегулирований, которые возникают в системе, настроенной по критерию СО, применяют сглаживание ступенчатого задающего воздействия путём включения на входе системы специального фильтра – инерционного звена первого порядка

, (35)

где для астатических объектов (30) и (32) и для статических объектов (31) и (33) с . При меньших отношениях постоянную времени можно уменьшить. Естественно, что быстродействие системы при включении сглаживающего фильтра снижается.

Используем общие принципы для выбора настроечных параметров типовых ПИ - и ПИД – регуляторов, которые обычно используются для регулирования следующих инерционных объектов первого и второго порядков с запаздыванием:

; (36)

; (37)

, (38)

где , а параметры и определяются экспериментально – проведением касательной к переходной характеристике объекта

(рис. 4, табл. 3).

Рис. 4. Переходные характеристики реального объекта управления (1) и его приближённых моделей второго порядка (2) и первого порядка с запаздыванием (3)

Таблица 3

Связь между параметрами s -образной переходной характеристики (рис. 4) и параметрами аппроксимирующей модели

Рекомендации по выбору настроечных параметров являются базовыми, отправными, которые подлежат уточнению в зависимости от точки приложения возмущения и от требований, предъявляемых к переходному процессу в системе регулирования.

В табл. 4 приведены эмпирические формулы, в которых обобщены результаты экспериментальных исследований по определению настроечных параметров типовых регуляторов для объектов с запаздыванием. Параметры определены путём моделирования систем при ступенчатых изменениях задающего R(p) и возмущающего F(p) воздействий. Обеспечиваемым показателем качества системы является перерегулирование

(0 или 20%) на выходе объекта.

Формулы для канала управления получены без учёта ограничения на величину управляющего воздействия, необходимого для обеспечения заданного показателя .

Если такое ограничение наложено, то приходится уменьшать коэффициент регулятора (без изменения параметра ), например, при максимально допустимом значении управляющего воздействия . Передаточный коэффициент ПИ – регулятора следует выбирать по формуле

. (39)

Таблица 4

Моделирование на ЭВМ и анализ переходных процессов, происходящих в замкнутой системе по каналам управления и возмущения при различных настройках, позволяют сделать следующие выводы о влиянии критериев настройки и параметров регулятора на показатели качества переходного процесса и о достоинствах и недостатках самих критериев:

1. Увеличение передаточного коэффициента приводит к уменьшению времени нарастания и повышению перерегулирования .

2. Увеличение постоянной интегрирования даёт повышение длительности и снижение перерегулирования .

3. Критерий МО предпочтителен при оптимизации систем, отрабатывающих в основном изменения задающего воздействия , т.е. следящих и программных систем.

4. Критерий СО целесообразно применять при настройке систем, которым чаще приходится реагировать на возмущающие воздействия , т.е. стабилизирующих систем.

5. Оба критерия обеспечивают по каналу возмущения приблизительно одинаковые значения первого максимального отклонения y_{м :}

_, (40)

где коэффициент 0, 85 соответствует отношению , а 1, 45 – отношению .

6. При настройке по критерию МО относительная длительность переходного процесса по каналу возмущения увеличивается с ростом отношения :

, (41)

а по критерию СО – уменьшается:

, (42)

где соответствует моменту достижения регулируемой величины значения (при ).

7. При длительности переходного процесса по каналу возмущения для обоих критериев одинаковы. При лучшее быстродействие даёт МО, а при - критерий СО.

5. Настройка параметров регуляторов систем с апериодической реакцией.

Довольно часто от системы управления требуется, чтобы её переходная характеристика как можно быстрее стремилась к установившемуся значению с минимальным перерегулированием. Системы такого типа принято называть системами с апериодической реакцией. В качестве меры близости переходной характеристики к установившемуся значению принимают зону, равную 2% от этого значения. Тогда временем установления считают время , за которое переходная характеристика входит в указанную зону, как показано на рис. 1. Апериодическая реакция характеризуется следующими показателями:

1. Установившаяся ошибка = 0.

2. Быстродействие минимальное время нарастания и время установления.

3. 0, 1% относительное перерегулирование < 2%.

4. Относительный выброс ниже установившегося значения < 2%.

Показатели (3) и (4) требуют, чтобы после того как в момент переходная характеристика войдёт в зону 2% от установившегося значения, она всё время оставалась в пределах этой зоны.

Рис. 1. Апериодическая реакция системы (А – амплитуда входного ступенчатого

воздействия)

Чтобы определить коэффициенты передаточной функции замкнутой системы , при которых реакция будет иметь апериодический характер, приведём сначала эту передаточную функцию к нормированному виду. Покажем это на примере системы третьего порядка:

. (1)

Разделим числитель и знаменатель на :

. (2)

Введя обозначение , получим:

. (3)

Выражение (3) – это нормированная передаточная функция замкнутой системы третьего порядка. Тем же самым способом определяются и нормированные передаточные функции систем более высокого порядка. Коэффициентам и т.д. придаются значения, при которых система будет иметь апериодическую реакцию. Коэффициенты, приведенные в табл. 1, выбраны таким образом, чтобы получить апериодическую реакцию и минимизировать время установления и время нарастания до 100% от заданного значения. В выражении (3) фигурирует нормированная переменная . Поэтому частота определяется по заданному времени установления или времени нарастания. Так, если в системе третьего порядка необходимо иметь время установления, равное 1, 2 с, то согласно табл. 1 мы имеем нормированное время установления

.

Отсюда находим частоту :

.

Таблица 1

Коэффициенты и параметры переходной характеристики системы с апериодической реакцией

После этого можно записать передаточную функцию замкнутой системы в виде (1).

При синтезе системы с апериодической реакцией выбирается тип корректирующего устройства и записывается выражение для передаточной функции замкнутой системы. Эта передаточная функция приводится к виду (1), после чего нетрудно определить параметры корректирующего устройства.

Пример 5