Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
В данном разделе рассмотрим применение аппарата Maple к вычислению частных производных и нахождению экстремумов функции многих переменных. Встроенная в ядро Maple функция дифференцирования diff применима к функции многих переменных . Ее формат для вычисления частной производной () имеет вид: [> diff(f(x), x1$k1, …, xn$kn); Пример 2.2. Дана функция . Найти частные производные первого и второго порядков, проверить справедливость равенства смешанных производных второго порядка.
Безусловные экстремумы функции переменной находятся с помощью встроенной процедуры ехtrema: [> ехtrema(f(x), {}, {переменные}); Однако эта функция, как мы увидим из примера, дает только точки, подозрительные на экстремум. Для точного ответа на вопрос об экстремуме необходимо исследовать функцию с помощью известного критерия Сильвестра. Пример 2.3. Исследовать на безусловный экстремум функцию . Рабочий лист Maple имеет вид:
Согласно критерию Сильвестра точка является точкой максимума функции. Вторая точка также является точкой максимума функции (матрица Гессе в ней имеет такой же вид). Исследуем точку с помощью критерия Сильвестра.
Главный минор матрицы Гессе равен нулю, следовательно, необходимо проводить дополнительные исследования. Ниже показано, что при: , : , : . В достаточно малой окрестности точки функция меняет свой знак (при этом ), и точка не является точкой экстремума.
Условные экстремумы функции многих переменных находятся с помощью той же процедуры ехtrema, только в фигурных скобках {} указываются ограничения (уравнения связи) на переменные . Известно, что задача на условный экстремум ставится так: найти точку условного экстремума (максимума или минимума) функции , если на переменные накладываются дополнительные ограничения (уравнения связи): (). Пример 2.4. Найти точку условного экстремума функции , где переменные удовлетворяют уравнениям связи
|