Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






VI. Устранение гетероскедастичности






 

Если наблюдается гетероскедастичность, то МНК – оценки будут неэффективными. Одним из вариантов улучшения ситуации является использование обобщенного (взвешенного) МНК. Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчета.

Пусть рассматриваются регрессионная исходная модель

(5)

или в матричном виде Y = X× b + e. Будем считать, что модель гетероскедастична, т.е. дисперсии возмущений , не равны между собой, и сами возмущения ei и ek не коррелированны. Это означает, что ковариационная матрица вектора возмущений – диагональная:

 

 

Допустим, что дисперсии известны, тогда гетероскедастичность легко устраняется. В самом деле, будем рассматривать в качестве i -го наблюдения зависимой Y и объясняющих переменных Xj (j = 1, 2, …, p) нормированные по si переменные, т.е.

Тогда модель имеет вид

(6)

Где

Очевидно, получившаяся модель гомоскедастична, т.к. дисперсия остатков постоянна. При этом ковариационная матрица W становится единичной. Если для отыскания параметра b использовать формулу

(7)

вместо

которая обычно получается при использовании МНК, то по теореме Айткена [? ] оценка первая имеет наименьшую ковариационную матрицу.

Применение формулы (7) для отыскания параметра b, т.е. обобщенный метод наименьших квадратов для модели с гетероскедастичностью, когда ковариационная матрица возмущений W есть диагональная матрица, называемая взвешенным методом наименьших квадратов.

Применяя МНК, находим неизвестные параметры регрессионной модели минимизируя используя обобщенный МНК, минимизируя наконец, в частном случае, применяя взвешенный МНК, минимизируя

“Взвешивая” каждый остаток ei с помощью коэффициента , мы добиваемся равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит в конечном счете к получению наиболее эффективных оценок параметров модели.

На практике, однако, значения si почти никогда не бывают известны. В этом случае, при нахождении переменных в формуле (6), значения si следует заменить их оценками .

Оценка параметров регрессионной модели взвешенным МНК состоит из следующих шагов:

1) Применить обычный МНК к модели (5);

2) Найти регрессию квадратов остатков на квадратичные функции регрессоров, т.е. найти уравнение регрессии (2) из теста Уайта, где f – квадратичная функция, аргументами которой являются квадраты значений регрессоров и их попарные произведения;

3) Вычислить прогнозные значения по полученному уравнению регрессии;

4) Получить набор “весов”: ;

5) Ввести новые переменные

6) Найти уравнение , полученная оценка b и есть оценка взвешенного МНК исходного уравнения (5).

На практике процедура устранения гетероскедастичности может представлять технические трудности, т.к. реально в матрице W присутствуют не сами стандартные отклонения ошибок регрессии, а их оценки. А это значит, что модель (6) не обязательно окажется гомоскедастичной.

Причины этого следующие:

1. далеко не всегда оказывается справедливым само предположение (2) теста Уайта или (3) теста Глейзера;

2. функция f в (2) и (3), вообще говоря, не обязательно степенная (и уж тем более, не обязательно квадратичная), и в этом случае, ее подбор может оказаться далеко не столь простым.

Другим недостатком тестов Уайта и Глейзера является то, что факт не выявления или гетероскедастичности, вообще говоря, не означает ее отсутствия. Принимая гипотезу H0, мы принимаем лишь тот факт, что отсутствует определенного вида зависимость дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал