Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Индивидуальное задание по решению нелинейных уравнений






Найти корни уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD и реализовать алгоритм решения нелинейного уравнения методом:

· деления отрезка пополам (первое уравнение)

· хорд (второе уравнение)

· касательных (третье уравнение)

 
 

Для реализации алгоритма решения нелинейного уравнения 3 методами взять любой из корней уравнения, выбрать отрезок локализации длиной l=0.6, содержащий только один корень (использовать график функции) и выполнить не менее 4 итераций по приближению к корню уравнения. Полученные результаты сопоставить с решением, полученным с использованием функции root.

2.2. Нахождение корней уравнений с использованием встроенной функции root пакета MathCAD.

Чтобы найти корень уравнения, необходимо задать начальное значение неизвестной и затем использовать функцию root, формата root (выражение, имя переменной).

 

Для того, чтобы найти все корни уравнения, необходимо локализовать (отделить) отрезки, содержащие по одному корню уравнения. Эту операцию удобно выполнить графически, а затем с помощью функции root найти все корни, указав начальные приближения в соответствии с локализованными отрезками.

 

Например, при нахождении корней уравнения для приведенного ниже графика можно указать в качестве начальных приближений значения переменной X=-0.7 и X=1.1. А функция root найдет ближайшие к начальным приближениям значения корней с заданной точностью.

 

 

Рис 2.1

2. 3. Метод деления отрезка пополам

Метод является простейшим и надежным алгоритмом уточнения корня на отрезке [ab].

Пусть задана функция f(x), необходимо решить уравнение f(x)=0. Функция f(x) непрерывна на отрезке [ab] и f(a)*f(b) < 0.

Для нахождения корня отрезок [ab] делим пополам .

Рис 2.2

 

Если , то является корнем уравнения.

Если , то выбираем тот отрезок [aс] или [сb] на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки.

 

Новый уменьшенный отрезок (например [сb]) снова делим пополам и т.д.

 

В результате на каком-то этапе получаем либо точный корень, либо последовательное приближение к корню.

 

2.4. Метод хорд

Постановка задачи

 

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a, b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

Рис 2.3

 

Для нахождения корня заменим график функции F(x) на отрезке [a, b] хордой, проходящей через точки [a, f(a)], [b, f(b)].

 

Пусть точка c есть точка пересечения хорды [a, f(a)], [b, f(b)] и оси X. Точка c и есть первое приближение к корню уравнения.

 

Пусть f(c) * f(b) < 0. Затем проводим хорду [c, f(c)], [b, f(b)] и т.д. Но это графическое решение, необходимо получить математическую формулу.

 

Математическая формула

Уравнение прямой, проходящей через две точки [a, f(a)], [b, f(b)].

       
 
   

 


Точка пересечения хорды [a, f(a)], [b, f(b)] с осью X есть

 
 

 

 


Эта и есть расчетная формула в методе хорд. Далее применяем этот метод к тому из отрезков [a, c] or [c, b], на концах которой функция принимает разный знак и получаем второе приближение и т.д.

 

2.5. Метод касательных

 

Постановка задачи

Имеем нелинейное уравнение F(x) = 0, где функция F(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и F(a) * F(b) < 0. Предположим, что внутри отрезка [a, b]имеется только один корень уравнения, т.е. F(x) монотонна и производная на отрезке больше (или меньше) 0 F'(x) > 0.

 

Уравнение касательной в точке имеет вид

 
 

 

 


При пересечении оси X Y = 0

 
 

 


Выражая из формулы xn+1, получим расчетную формулу

       
   
 
 

 


Рис 2.4

 

 

Преимущества метода – быстрая сходимость

Недостаток – требует вычисления производной.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал