Решение. В схеме 6 обобщённых ветвей с токами, подлежащими расчёту

В схеме 6 обобщённых ветвей с токами, подлежащими расчёту. Матрица токов ветвей имеет вид [ I _в ] = [ I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅, I ₆ ] ^T.

В схеме есть 2 тока сопротивлений, отличных от токов обобщённых ветвей. Это токи I_{r 3} и I_{r 2}.

U ₄= j ₄ – j ₃, U ₅= j ₂ – j ₄, U ₆= j ₃ – j ₁.

Напряжения ветвей, как и токи ветвей, образуют одностолбцовую матрицу с 6 строками [ U _в ] = [ U ₁, U ₂, U ₃, U ₄, U ₅, U ₆ ] ^T.

Также одностолбцовыми с 6 строками (по количеству ветвей схемы рис. 1.58, а) являются матрицы активных параметров ветвей:

[ E _в ] = [ -E ₁, 0, 0, 0, E ₅, 0 ] ^T - матрица ЭДС ветвей;

[ J _в ] = [ 0, -J ₂, J ₃, 0, 0, 0 ] ^T - матрица токов источников тока ветвей.

Обращаем внимание, что знаки «минус» в матрицах [ E _в ] и [ J _в ] появились в соответствии с рис. 1.57, по законам Кирхгофа для которого получаем I + J = I_r,

U – I_r × r = - E,

на основании чего получаем две редакции закона Ома для обобщённой ветви:

1) U = (I + J) × r – E; 2) I = (U + E) × g – J, где g = r ^-1 – проводимость ветви.

В матричной форме уравнения, записанные по закону Ома, можно также представить в двух редакциях:

1) [ U _в ] = [ R _в ] × { [ I _в ] + [ J _в ] } – [ E _в ]; 2) [ I _в ] = [ G _в ] × { [ U _в ] + [ E _в ] } – [ J _в ],

где фигурируют диагональные матрицы сопротивлений ветвей [ R _в ] и проводимостей ветвей [ G _в ], причём [ G _в ] = [ R _в ] ^-1. Для рассматриваемой схемы

[ R _в ] = ; [ G _в ] = ;

где g_q = r_q ^-1 – проводимости ветвей.

После выполнения операций перемножения, сложения и вычитания матриц получаем развёрнутые системы соотношений соответственно приве-

денным редакциям закона Ома:

1) U ₁ = I ₁× r ₁ + E ₁; 2) I ₁ = (U ₁ – E ₁ ) × g ₁ = (U ₁ – E ₁ ) / r ₁;

U ₂ = I ₂× r ₂ – J ₂× r ₂; I ₂ = U ₂× g ₂ + J ₂ = U ₂/ r ₂ + J ₂;

U ₃ = I ₃× r ₃ + J ₃× r ₃; I ₃ = U ₃× g ₃ – J ₃ = U ₃/ r ₃ – J ₃;

U ₄ = I ₄× r ₄; I ₄ = U ₄× g ₄ = U ₄/ r ₄;

U ₅ = I ₅× r ₅ – E ₅; I ₅ = (U ₅ + E ₅ ) × g ₅ = (U ₅ + E ₅ ) / r ₅;

U ₆ = I ₆× r ₆; I ₆ = U ₆× g ₆ = U ₆/ r ₆.

Составим для рассматриваемой схемы одну из топологических матриц – матрицу соединений [ A ] (другое название – узловая матрица). Для этого один из узлов схемы принимаем за базисный, в нашем примере пусть это будет узел с наибольшим номером – №4.

При составлении матрицы [ A ] номера строк соответствуют номерам узлов, номера столбцов – номерам ветвей, причём в порядке возрастания индексов. Если ветвь направлена от узла, то это обстоятельство в матрице [ A ] отображается +1, если к узлу – в матрице появляется коэффициент -1, если ветвь не соединена с узлом – 0. Таким образом, получаем для схемы

[ A ] = .

Запишем I закон Кирхгофа в матричной форме [ A ] × [ I _в ] = [0].

После выполнения операции умножения матрицы [ A ] на столбцовую матрицу токов ветвей [ I _в ] получаем развёрнутую систему уравнений, записанных по I закону Кирхгофа в количестве (У -1 ) (см. метод уравнений Кирхгофа): 1) - I ₁ + I ₂ – I ₆ = 0; 2) - I ₂ – I ₃ + I ₅ = 0; 3) I ₃ – I ₄ + I ₆ = 0.

Составим для рассматриваемой схемы с учётом графа (рис. 1.58, б) матрицу главных контуров [ В ], в которой строкам соответствуют ветви связи 2, 3, 6 в порядке возрастания индексов и при этом каждый главный контур обходится в направлении ветвей связи. Получаем

[ В ] = .

II закон Кирхгофа в матричной форме записывается в виде матричного уравнения [ В ] × [ U _в ] = [0]. После раскрытия произведения получаем систему уравнений в развёрнутом виде

4) U ₁ + U ₂ + U ₅ = 0; 5) U ₃ + U ₄ + U ₅ = 0; 6) -U ₁ + U ₄ + U ₆ = 0.

Уравнения 1) – 6) представляют собой систему уравнений Кирхгофа для решаемой задачи.

ЗАДАЧА 1.55. Решить задачу 1.18 с применением матричного метода.