Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интерполяционная формула Лагранжа






Пусть на отрезке [a, b] функция у=f(x) задана таблично, т.е. (xi, yi), (i=0, 1,.., n), где yi=f(xi). Так заданную функцию называют «сеточной».

Постановка задачи: найти алгебраический многочлен (полином):

степени не выше n такой, чтобы

Ln(xi)=yi , при i= 0, 1 ,.., n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах xi, (i =0, 1,.., n) те же значения, что и сеточная функция у = f(x).

Сам многочлен Ln(x) называется интерполяционным полиномом, а задача – полиномиальной интерполяцией.

Найти многочлен Ln(x) – это значит найти его коэффициенты a 0, a 1, …, a n. Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ai, (i =0, 1, …, n):

где x i и y i (i =0, 1, …, n) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение.

Определив коэффициенты a 0, a 1, …, an , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x):

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается [3, 6], что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0, y 0 ) и (x 1, y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

xi x 0 x 1 x 2
yi y 0 y 1 y 2

и имеет вид

Приближенные равенства

называются соответственно формулами линейной и квадратичной интерполяции.

n Пример 5.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

xi        
yi        

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона [3, 6], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита [3].

Сплайн-интерполяция. При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию, когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал