Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Простой математический маятник.Стр 1 из 9Следующая ⇒
Моделирование сложных динамических систем в примерах.
В данной работе делается попытка проиллюстрировать основные понятия моделирования сложных динамических систем на специально подобранных характерных примерах. Сначала рассматриваются модели изолированных систем и все внимание концентрируется на описании поведения. Последовательно обсуждаются модели непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных – гибридных - систем. Затем рассматриваются компонентные модели, состоящие из отдельных блоков. Одновременно «исподволь» развивается идея объектно-ориентированного моделирования.
Модели изолированных систем.
Изолированной называется система, не взаимодействующая с внешним окружением. Таким образом, модель изолированной системы должны включать в себя как описание изучаемой системы, так и описание внешнего окружения. . Модели математического маятника.
В этом разделе мы рассмотрим несколько последовательно усложняющихся моделей математического маятника: простой маятник, маятник с подталкивающей силой, маятник с пружиной, отрывающийся маятник. Простой математический маятник.
Данная модель является примером модели чисто непрерывной изолированной системы. Моделируемая система представляет собой материальную точку (мы будем представлять ее как шарик достаточно малого размера), прикрепленную к нерастяжимому и невесомому стержню длиной , другой конец которого шарнирно закреплен в начале системы координат (см. Рис 1).
Рис 1 Состояние маятника полностью определяется значением двух переменных: угла отклонения и угловой скоростью . Динамика маятника определяется двумя дифференциальными уравнениями (1).
(1) , где
При численном моделировании мы будем полагать . Однако, для анимации движения маятника потребуются дополнительные переменные – координаты и материальной точки, задаваемые двумя формулами (1a) (1a)
На Рис 2б показана траектория движения маятника в координатах . Зависимости показаны на Рис 2а. Моделируемая система совершает незатухающие колебания. На Рис 2в показана фазовая траектория маятника в системе координат .
а) .
б) в) Рис 2 Совокупность переменных, определяющих состояние динамической (то есть изменяющейся во времени) системы, называют фазовым вектором, а область его изменения – фазовым пространством. Набор начальных значений определяет начальную точку, соответствующую моменту времени . При изменении конец фазовый вектор определяет последовательность точек, называемую фазовой траекторией. Фазовое пространство с дополнительной координатой – временем – называют расширенным фазовым пространством. Графики, показанные на Рис 2, являются различными двумерными проекциями траектории системы в расширенном фазовом пространстве.
|