Пример 10. Матрицыи -единичные матрицы.

Теорема 2. Если , где то для любой матрицы

. (14)

Доказательство.

Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

, так как

Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

, так как

Из полученных результатов следует, что и , следовательно, . Утверждение доказано.

Следствие 1. Если матрица где - некоторое число, т.е. B - cкалярная матрица порядка n, то для любой матрицы

. (15)

Доказательство. Нетрудно заметить, что . Следовательно,

; .

Что и требовалось доказать.

Определение 13. Операция перехода от матрицы к матрице , где , , т.е. когда столбцы матрицы А превращаются в соответствующие строки матрицы В, называется транспонированием матрицы А. Матрица В в этом случае называется транспонированной матрицей А.

Обозначение:

Пример 11. , .

Замечание. Нетрудно заметить, что при транспонировании матриц элементы, стоящие на главной диагонали, не изменяю своего положения.

Теорема 3 (свойства операции транспонирования)

1) , где - единичная матрица порядка n.

2) , для любых матриц .

3) , где и (16)

4) , где и . (17)

5) , для любых матриц А и любых постоянных .

Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 следует из определения 13. Следовательно, доказать требуется лишь свойства 3 и 4.

3) Пусть .

Так как , , то для матрицы , где .

Следовательно, , и, согласно определению 13, , где

, (18)

Пусть . Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

Следовательно, и , где

, (19)

Из формул (18) и (19) следует, что , Это означает равенство матриц С и D, а значит, и справедливость формулы (16). Утверждение 3 доказано.

4) Применяем ту же методику: доказываем, что матрицы в левой и правой части равенства (17) состоят из одинаковых элементов.

, , тогда , где , элементы которой определяются по формуле (20):

, (20)

Пусть , тогда и, согласно определению 13, , где , В этом случае, из (20) следует, что элементы матрицы определяются по формулам (21):

, (21)

Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

Следовательно, матрица , , элементы которой определяются по правилу:

, (22)

Используя представления элементов матриц L и S с помощью элементов матриц А и В, получаем:

, (23)

Из равенств (21) и (23) следует, что элементы матриц D и К, стоящие на одинаковых местах, совпадают, значит, , что означает, что . Утверждение доказано.

5) Данное свойство докажите самостоятельно.

Определение 14. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции над матрицами:

1) перестановка двух строк матрицы местами;

2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на одно и то же число;

3) прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженных на число;

4) те же операции над столбцами.

Определение 15. Матрицы А и В, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными.

Обозначение: .

Смысл этой эквивалентности станет Вам понятен позднее, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.