Ціна за 1 грам золота, грн. на станом на 10.06.2015

За даними Мережі ломбардів «Комод»[]

Для побудови економіко-математичної моделі введемо наступні позначення:

· і - номер групи дорогоцінних металів за пробами ();

· , - закупівельна ціна 1 грама дорогоцінного металу, грн.;

· , - ціна продажу 1 г дорогоцінного металу, грн.

На обмеженій області класичні нелінійні криві попиту і пропозиції, мають властивість сепарабельності, тобто їх можна представити сумою відрізків прямих ліній: i.

Крива пропозиції клієнтом ломбарду і-го виду дорогоцінного металу за планом:

(3.1)

Крива попиту на незатребувані дорогоцінні метали i -ого виду покупцями, в магазині при ломбарді за планом

(3.2)

де , - коефіцієнти, що характеризують особливості попиту і пропозиції дорогоцінних металів за групами в ломбарді.

При цьому існує залежність між та виявлена експертним методом по кожній групі дорогоцінних металів:

, (3.3)

де – частка не викуплених виробів, по кожній групі дорогоцінних металів від загального обсягу застави.

З врахуванням прийнятих позначень економіко-математична модель оптимізації закупівельної ціни та ціни продажу на дорогоцінні метали у ломбарді, що максимізує прибуток підприємства, має вигляд:

1) Ціль: максимізація прибутку від даного виду діяльності ломбарду, грн:

(3.4)

де - прибуток від покупки та продажу дорогоцінних металів у ломбарді, грн;

- дохід від покупки та продажу дорогоцінних металів у ломбарді, грн;

- витрати на придбання, кредитування та утримання і-го виду дорогоцінного металу, грн.

2) Обмеження моделі:

а) умова рівності обсягу закупівель і продаж з урахуванням коефіцієнту

(3.5)

б) невід’ємність функцій попиту та пропозиції

, (3.6)

в) невід’ємність змінних моделі:

, , , (3.7)

Для визначення оптимального прибутку розрахуємо окремі показники та коефіцієнти для моделі (3.4-3.7).

Дохід від продажу дорогоцінних металів за планом ломбарду, яка складається з декількох складових, дорівнює.

(3.8)

Враховуючи, що витрати ломбарду по організації торгівлі та придбанні дорогоцінних металів дорівнюють:

(3.9)

- ставка ломбарду по наданих кредитах, частин;

- частка не викуплених виробів, по кожній групі дорогоцінних металів від загального обсягу застави, %, запланована на наступний період.

Формула для розрахунку доходу ломбарду від продажу та купівлі дорогоцінних металів набуває вигляду:

(3.10)

Для показників попиту та пропозиції ми пропонуємо наступну методику їх обґрунтування:

Введемо додаткові позначення з урахуванням різних варіантів (індекси 1 і 2) за планом:

, – можливі закупівельні ціни 1 г дорогоцінного металу і -ої проби у клієнта ломбарду, грн;

, – прогнозований обсяг купівлі 1 г дорогоцінного металу і -ої проби у клієнта ломбарду за ціною та відповідно;

, _і – можливі ціни продажу 1 г дорогоцінного металу і -ої проби за планом, грн;

, – прогнозований обсяг продажу магазином при ломбарді 1 г дорогоцінного металу і -ої проби за планом за цінами , відповідно.

Апроксимація кривих пропозиції та попиту , дає наступні результати:

Для пропозиції

(3.11)

(3.12)

Для визначення попиту:

(3.13)

(3.14)

Підставляючи отримані коефіцієнти у модель (3.4-3.6) ми отримаємо усі дані для розв’язку економіко-математичної моделі оптимізації закупівельної ціни та ціни продажу на дорогоцінні метали у ломбарді, що максимізує прибуток ломбарду.

Пропонована модель є задачею нелінійного математичного програмування. Для її вирішення сучасні комп'ютери мають стандартний набір програм, наприклад «Пошук рішення» в MS Excel. В процедурі пошуку рішення Microsoft Excel використовується алгоритм нелінійної оптимізації Generalized Reduced Gradient (GRG2), розроблений Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin)[] і Аланом Уорен (Allan Waren, Cleveland State University)[]. Алгоритми симплексного методу і методу " branch-and-bound" для вирішення лінійних і целочисельних задач з обмеженнями розробленими Джоном Уотсоном (John Wat-son)[] і Деном Філстра (Dan Fylstra)[] з Frontline Systems, Inc.

Розглянемо числовий приклад рішення цієї задачі. Маємо вхідні дані по планах та прогнозах цін та обсягів покупки та продажу дорогоцінних металів при ставки відсотку 45% табл. 3.6.

Таблиця 3.6