Оптимизация скорости сходимости метода простой итерации. Предположим, что рассматриваемая СЛАУ (1) имеет симметричную и положительно определенную матрицу (если это не так

Предположим, что рассматриваемая СЛАУ (1) имеет симметричную и положительно определенную матрицу (если это не так, то предварительно СЛАУ надо симметризовать). Значения , заранее известны очень редко, но часто можно сравнительно легко определить границы спектра, т.е. указать такие числа , что

.

Сходимость итерационного процесса (15), (20) будет определяться условием (40), причем, чем меньше будет величина , тем быстрее будет сходиться итерационный процесс. Уменьшить величину можно за счет определенного выбора параметра . Введем функцию

. (50)

Рассмотрим задачу минимизации за счет выбора . В случае, когда , , процесс (15), (20) расходится. Пусть . Можно показать, что минимум функции (50) достигается в точке и равен . Таким образом, для любой СЛАУ вида (1) можно построить сходящийся МПИ (матрица СЛАУ предполагается симметричной и положительно определенной (в противном случае СЛАУ сначала симметризуется)):

. (55)

Вопросы

1. Любую ли СЛАУ вида (1) можно решить МПИ?
2. В чем заключается процесс симметризации СЛАУ?
3. Какими свойствами обладает матрица СЛАУ после симметризации?
4. Почему процесс симметризации системы используется не всегда при ее решении?
5. Когда имеет смысл проводить симметризацию СЛАУ?
6. Вычислительная сложность процесса симметризации СЛАУ.
7. В чем заключается оптимизация скорости сходимости МПИ?