Дифференциалы высших порядков.

Определение 2. Дифференциалом второго порядка функции называют дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции .

Аналогично определяются дифференциалы функции порядка выше второго, например и, вообще, .

Если , где и – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные 2-го порядка, то дифференциал второго порядка функции вычисляется по формуле

.

При наличии соответствующих производных справедлива символическая формула , которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если , где аргументы и это функции одного или нескольких независимых переменных, то

.

Если и – независимые переменные, то , и формула (4) становится тождественной формуле (3).

Пример 5. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков функции .

Для функции, заданной неявно производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (2).

Пример 6. Найти , если .

Пример 7. Найти и , если .