![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Иллюстрация возникновения разных математических задачСтр 1 из 59Следующая ⇒
К лекциям 1-2. Математическое моделирование электрических схем
Введение
Обобщенно можно сказать, что физики и инженеры рассматривают процессы (явления) либо для их изучения, либо для создания новых конструкций и приборов. Для обеих целей важнейшим этапом рассмотрения является эксперимент. Без него нельзя обойтись. Но можно несколько облегчить задачу изучения процессов созданием адекватной математической модели явления или конструкции.
Этапы эксперимента
Этапы математического моделирования
Иллюстрация возникновения разных математических задач
Рассмотрим задачи, которые возникают при математическом моделировании электрической схемы, представленной на рис. 1. Оказывается, что в зависимости от предположений о заданной зависимости ЭДС от времени можно получить разные математические задачи.
Рис.1 Схема, содержащая два ключа
В рассматриваемой схеме существуют три узловые точки (жирные точки на рис.1), в которых число входящих и исходящих токов больше двух. Мы обозначили потенциалы в этих точках буквами ф0, ф1, ф2. Необходимо написать соотношения между разностями этих потенциалов и протекающими токами по всем возможным путям прохождения тока между узловыми точками (что эквивалентно второму закону Кирхгофа). Напомним факты, известные из курса физики. Ток
Рис. 2. Процесс зарядки конденсатора. Связь между током, зарядом и разностью потенциалов на обкладках конденсатора. При рассмотрение электрических схем можно произвольно вводить неизвестные токи. Надо только придерживаться следующих правил.
На рис1. мы воспользовались тремя токами (по числу трех независимых контуров), обозначенных Нетрудно заметить, что между потенциалами ф0 и ф1 существуют два пути для токов
Связь между зарядами обкладок конденсатора и «протекающим» током определяются, согласно рисунку 2, дифференциальным соотношением между током и зарядом:
Таким образом, рассматриваемая электрическая схема эквивалентна системе пяти линейных алгебраических уравнений (1)-(5) и двух линейных дифференциальных уравнений (6)-(7) для семи величин: двух разностей между узловыми потенциалами (ф1-ф0), (ф2-ф0), трех токов В общем случае, когда разности потенциалов
Частные случаи общей схемы, изображенной на рис. 1
Зарядка и разрядка конденсатора
Заметим, что рассматриваемая схема состоит из трех электрических контуров, устроенных одинаковым образом: ключ, источник питания, три сопротивления и один конденсатор. Поэтому остановимся подробно на первом контуре, предполагая, что два других отключены от первого (разрыв в цепи в узле 1). Формально это означает, что мы предполагаем, что
Сложив уравнения (8) и (9) и воспользовавшись соотношением (10), получим одно линейное дифференциальное уравнение первого порядка для заряда конденсатора:
Уравнение (8), а следовательно и (11) подразумевают, что ключ К1 замкнут. Предположим, что до момента
Не останавливаясь на деталях, напишем решение задачи (11)-(12) в общем случае произвольной зависимости от времени напряжения источника тока
Проверка того, что функция (13) удовлетворяет уравнению (11) является простым упражнением на дифференцирование. Выполнение условия (12) очевидно. Если напряжение
Интерпретация полученного результата очевидна. Включение постоянного напряжения в цепи дает начало заряду конденсатора, при котором заряд на обкладках конденсатора меняется от 0 до Что будет происходить в рассматриваемом первом контуре, если после зарядки конденсатора (т.е. через время Будем считать, что конденсатор к этому времени уже зарядился практически до величины
Поскольку теперь в контуре отсутствует источник тока, а добавление бесконечно малого сопротивления к
Решение этого уравнения с учетом начального условия (15) легко «угадать»:
Интерпретация этого результата также очевидна. Заряд на обкладках конденсатора быстро убывает до нуля с тем же характерным временем, что и он нарастал в предыдущей задаче, а ток скачком возрастает до величины Разобравшись с процессами зарядки и разрядки конденсаторов, можно рассмотреть всю схему на рис.1 при больших временах после включения двух источников токов с постоянными Статическое решение для схемы на рис. 1
Как следует из рассмотрения предыдущей задачи для одного контура, если в полной схеме на рис. 1 разности потенциалов
В этом случае сумма уравнений (1)+(3)+(4) приводит к ожидаемому равенству
разность узловых потенциалов определяются уравнениями (1) и (4):
а заряды конденсаторов определяются уравнениями (2) и (5):
Рис 3. Схема для рассмотрения статического решения при постоянных значениях E1 и E2.
Динамика зарядов на конденсаторах в общем случае уравнений (1)-(7)
Систему уравнений (1)-(7) нетрудно записать в матричном виде. Такая запись является более наглядной и позволяет легче охватить общую структуру уравнений, а также сформулировать общую постановку задачи и пути ее решения. Введем необходимые обозначения. Объединим в один вектор
Нам потребуются еще три прямоугольные матрицы, состоящие из постоянных величин и обозначенных большими греческими буквами одна матрица размерности 2х5
и две матрицы размерности 5х2
И последняя (по счету, а не по значению) из необходимых нам матриц будет квадратная матрица 5х5, определяемая левой частью уравнений (1)-(5):
Нетрудно проверить, что с помощью введенных обозначений исходная система уравнений (1)-(7) приобретет компактный вид:
Из (26) следует, что если матрица
С помощью MathCad можно вычислить определитель матрицы и, следовательно, в рассматриваемой задаче матрица Заметим, что все матрицы в (27) не содержат зависящих от времени величин. Поэтому второе уравнение в (27) является неоднородным векторным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, в котором зависимость правой части от времени определяется зависимостью от времени потенциалов источников токов
|