Обобщенные КС-грамматики и приведение их к удлиняющей

Форме

КС-грамматика называется обобщенной, если она содержит аннулирующие правила (e - правила), то есть правила вида A® e, где e - пустая цепочка. Обобщенная грамматика зачастую более проста и наглядна. Тем не менее следует помнить, что для любой обобщенной КС-грамматики существует эквивалентная неукорачивающая КС-грамматика.

Теорема 4.6. Каждая КС-грамматика приводима к виду не более чем с одним аннулирующим правилом S® e, которого может и не быть.

Доказательство. Проведем его, как обычно, конструктивно, построением неукорачивающей грамматики.

Во-первых, нужно определить, порождает ли исходная грамматика пустую цепочку. Пусть S - начальный символ исходной грамматики G. Определим в G множество нетерминалов X _i, из которых пустую цепочку можно получить за i шагов, и множество новых нетерминалов Z_i. Таким образом мы определим аннулирующие нетерминалы.

X₀ = { A | $ A® e }, Z₀ = X₀

X₁ = { A | $ A® x, где xÎ X₀ }, Z₁ = X₁\ X₀

....................................................................

X _i = { A | $ A® x, где xÎ X _j }, Z _i = X _i\ X _i-1

На каком-то шаге Z _i станет равным Æ и процесс формирования аннулирующих нетерминалов можно закончить. Если S Ï X _j, где , то e Ï L(G) и правила S® e добавлять не надо. В противном случае, заменим в исходной грамматике во всех правилах S на S₁, введем новый исходный нетерминал S и к правилам грамматики G добавим правила S® e ½ S₁.

Все остальные правила вида A® e можно удалить. Для этого заменим каждое из правил, правые части которых содержат хотя бы по одному аннулирующему нетерминалу, множеством новых правил. Если правая часть правила содержит k вхождений аннулирующих нетерминалов, то множество, заменяющее это правило, будет состоять из 2^k правил, соответствующих всем возможным способам удаления некоторых (или всех) из этих вхождений.

Пусть имеется правило

B® j _{1 A 1} j _{2 A 2} j ₃ ... j _k A _k j _k+1,

где A _i () - аннулирующие нетерминалы. Добавим к этому правилу следующие правила:

B® j ₁ j _{2 A 2} j ₃ ... j _k A _k j _k+1, удалено A ₁

B® j _{1 A 1} j ₂ j ₃ ... j _k A _k j _k+1, удалено A ₂

..................................

B® j _{1 A 1} j _{2 A 2} j ₃ ... j _k j _k+1, удалено A _k

B® j ₁ j ₂ j ₃ ... j _k A _k j _k+1, удалены A _{1, A 2}

..................................

B® j ₁ j ₂ j ₃ ... j _k j _k+1, удалены A _{1, A 2},... A _k .

Заметим, что в случае неоднозначности, на этом шаге может получиться меньше чем 2^k правил. Так, для аннулирующего нетерминала A, правило B® aAA будет заменяться тремя правилами B® aAA ½ aA ½ a, так как в данном случае безразлично первое или второе вхождение A мы рассматриваем.

После такой замены правил для всех правых частей исходной грамматики, содержащих аннулирующие нетерминалы, исключим из грамматики все e - правила, включая те, которые могли появиться при замене.

В результате мы получим грамматику, эквивалентную исходной, что доказывается с использованием теорем 4.1 и 4.3.

Отметим, что мы рассматривали случай, когда аннулирующие нетерминалы имеют и другие альтернативы, кроме перехода в пустую цепочку. Если A ® e единственная альтернатива нетерминала A, то правые части правил, содержащие его вхождение, можно просто исключить. ƒ

В результате применения рассмотренного алгоритма можно получить КС-грамматику, по которой вывод любой непустой цепочки характеризуется тем, что сентенциальная форма, получаемая на каждом шаге вывода, будет не короче предыдущей. Не случайно полученная грамматика носит название неукорачивающей КС-грамматики (НКС-грамматики).

Пример 4.5. Рассмотрим обобщенную КС-грамматику с аксиомой < число>.

< число> ® < знак> < цел.часть>. < др.часть>

< знак> ® + ½ - ½ e

< цел.часть> ® < цел.часть> < цифра> ½ e

< др.часть> ® < цел.часть>

< цифра> ® 0 ½ 1 ½...½ 8 ½ 9 и приведем ее к неукорачивающей форме.

Вначале покажем, что данная грамматика не порождает пустой цепочки. Здесь

X₀ = { < знак>, < цел.часть> },

X₁ = { < др.часть> },

X₂ = Æ и Z₂ = Æ.

Среди множеств X - нет нетерминала < число> и, следовательно, правила

< число> ® e добавлять не надо.

Проведем замены правил, правые части которых содержат аннулирующие нетерминалы, а затем удалим e - правила.

В результате получим грамматику

< число> ® < знак> < цел.часть>. < др.часть> ½ < цел.часть>. < др.часть> ½

< знак>. < др.часть> ½ < знак> < цел.часть>. ½. < др.часть> ½

< цел.часть>. ½ < знак>. ½.

< цел.часть> ® < цел.часть> < цифра> ½ < цифра>

< др.часть> ® < цел.часть>

< цифра> ® 0 ½ 1 ½...½ 8 ½ 9

На рис. 4.2 представлены деревья вывода цепочки +.9 по исходной (рис. 4.2 (а)) и результирующей (рис. 4.2 (б)) грамматикам.

Для приведения грамматики к удлиняющей форме необходимо кроме аннулирующих правил исключить и цепные правила. Цепное правило - это правило вида A® B, где A, B Î N.

Теорема 4.7. Для любой КС-грамматики существует эквивалентная ей грамматика без цепных правил.

Доказательство. Пусть в грамматике имеется правило A ® B и A ¹ S (A - не начальный символ грамматики). Тогда все правила вида C ® aAb заменим на правила C ® aBb, а правила A ® B удалим. Если A = S и для B существуют правила B ® j ₁ ½ ... ½ j _n, то заменим их на S ® j ₁ ½ ... ½ j _n , после чего S ® B удалим.

Любое такое преобразование правил допустимо исходя из теорем 4.1 - 4.3 и устраняет правила вида A ® B. Повторяем такие преобразования до тех пор, пока в грамматике не останется цепных правил. š

š

В результате устранения аннулирующих и цепных правил получается грамматика в удлиняющей форме, где сентенциальная форма на каждом шаге вывода будет длиннее сентенциальной формы на предыдущем шаге. Напомним, что эта форма грамматики использовалась для доказательства теоремы о разрешимости контекстных языков (теорема 1.1).

Пример 4.6. Пусть дана КС-грамматика с правилами

S ® aBa

B ® A ½ Bc

A ® aA ½ bb.

Правило B ® A можно устранить, воспользовавшись результатами теоремы 4.2, и получить грамматику

S ® aBa

B ® aA ½ bb ½ Bc

A ® aA ½ bb š

КС-грамматика G=(N, S, P, S) называется грамматикой без циклов, если в ней нет выводов A Þ ⁺ A для AÎ N. КС-грамматика G называется приведенной, если она без циклов, без аннулирующих правил и без тупиков.

Грамматики с e - правилами и циклами иногда труднее анализировать, чем грамматики без таковых. Кроме того, в любой практической ситуации тупики (бесполезные символы) без необходимости увеличивают объем анализатора. Поэтому для некоторых алгоритмов синтаксического анализа, рассматриваемых во второй части пособия, мы будем требовать, чтобы грамматики, фигурирующие в них, были приведенными. Это требование позволяет рассматривать все КС-языки.

Теорема 4.8. Если L - КС-язык, то L=L(G) для некоторой приведенной КС-грамматики G.

Доказательство. Применить к КС-грамматике, определяющей язык L, эквивалентные преобразования по теоремам 4.5 - 4.7. �