Приложение 2. Пример выполнения задания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

Представление выборочных данных в виде статистического ряда, вычисление выборочных характеристик, графическая иллюстрация статистических рядов

Цель работы:

Ознакомиться с методикой построения статистических рядов.

Задание.

Имеется выборка из значений непрерывной случайной величины (Приложение 3, N - номер варианта). Требуется представить выборку в виде интервального ряда, построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочные среднее и дисперсию. Сравнить гистограмму с кривой плотности нормального распределения, положив параметры распределения (математическое ожидание и дисперсию) равными, соответственно, выборочным среднему и дисперсии. Высказать предположение о возможной нормальности распределения (или отличия распределения от нормального) генеральной совокупности.

Приложение 1. Основные понятия и соотношения.

Множество всех возможных значений случайной величины , распределенной по закону , называется генеральной совокупностью .

Множество отдельных значений случайной величины , полученных в серии из независимых экспериментов (наблюдений), называется выборочной совокупностью или выборкой объема из генеральной совокупности.

Выборка , в которой элементы упорядочены по возрастанию, называется вариационным рядом.

Совокупность пар чисел , где , - наблюдаемые, неповторяющиеся в выборке значения, а - число этих значений в выборке, называется статистическим рядом абсолютных частот. Совокупность пар чисел , где называется статистическим рядом относительных частот. Совокупность пар чисел называется статистическим рядом накопленных частот. Статистические ряды отображают в виде таблицы:

Подобного вида статистический ряд используют обычно для описания выборки из генеральной совокупности с дискретным распределением. В этом случае статистический ряд относительных частот приближенно оценивает ряд распределения дискретной случайной величины.

Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называется полигоном частот. Для дискретной случайной величины полигон частот является оценкой многоугольника распределения.

Для описания выборки из совокупности с непрерывным распределением используют группированные (или интервальные) статистические ряды. Для этого интервал, в котором содержатся все элементы выборки, делится на равных (или неравных) последовательных, непересекающихся интервалов , где , , и подсчитывают частоты - число элементов выборки, попавших в -ый интервал. Число интервалов группирования определяют, например, по формуле Стерджесса: . При разбиении на интервалы следует следить за тем, чтобы частоты для всех интервалов были одного порядка, в противном случае следует изменять длины интервалов, добиваясь относительного равномерного распределения частот по интервалам. В результате получаем следующий статистический ряд:

интервал

Здесь - середины интервалов группирования, - плотность частоты.

Эмпирической функцией распределения, полученной по выборке , называется функция, при каждом равная:

.

есть ступенчатая функция. Эмпирическая функция распределения является оценкой функции распределения. Для генеральной совокупности с дискретным распределением для построения обычно используют все наблюдаемые точки , (рис 3).

Для генеральной совокупности с непрерывным распределением, при большом объеме выборки, для построения проще найти значения ее в точках , заданных с некоторым малым шагом, в пределах наблюдаемого , или предполагаемого интервала варьирования значений случайной величины. Затем точки с координатами можно соединить плавной линией, получив тем самым оценку кривой теоретической функции распределения.

В качестве числовых характеристик выборки используются:

1. Выборочное среднее: .

2. Выборочная дисперсия .

3. Несмещенная выборочная дисперсия .

4. Выборочные начальные и центральные моменты

, .

По статистическому ряду значения этих величин могут быть найдены по формулам:

, , ,

, .

(в случае интервального ряда данные формулы являются приближенными).

Выборочные характеристики являются приближенными значениями соответствующих числовых характеристик случайной величины .

Приложение 2. Пример выполнения задания.

Выборка объемом :

Построим статистический ряд, осуществив группировку данных. Находим , . Число интервалов группирования определяем по формуле Стерджесса: . Для удобства возьмем в качестве нижней границы первого интервала значение , а в качестве верхней границы последнего интервала значение , тогда, если выбрать интервалы равной длины, длина каждого интервала группирования будет равна . Подсчитывая частоты, получаем следующий ряд:

Интервал	0 - 4	4 - 8	8 - 12	12 - 16	16 - 20	20 - 24	24 - 28
Частота

Видим, что частоты распределены по интервалам крайне неравномерно, поэтому делаем перегруппировку данных, изменяя длины интервалов, добиваясь более равномерного распределения частот по интервалам. В результате получаем следующий ряд:

Интервал	0 - 1, 5	1, 5 - 3	3 - 5	5 - 7	7 - 10	10 - 16	16 - 27
Середина	0, 75	2, 25			8, 5		21, 5
Частота
Относительная частота	0, 28	0, 15	0, 15	0, 13	0, 13	0, 1	0, 06
Плотность частоты	0, 1867	0, 1000	0, 0750	0, 0650	0, 0433	0, 0250	0, 0055

Соответствующие полигон частот и гистограмма, построенная в Excel, приведена на рисунке.

Основные числовые характеристики выборки:

Выборочное среднее: .

Несмещенная выборочная дисперсия .

Анализируя гистограмму, видим, что распределение экспериментальных данных похоже на показательное распределение. Сравним для наглядности гистограмму с кривой плотности показательного распределения. В качестве неизвестного параметра , этого распределения возьмем оценку, полученную по методу моментов: . Вычислим значения плотности показательного распределения в точках, соответствующих серединам интервалов группирования, и сравним гистограмму с графиком плотности:

Видим, что вполне возможно, что генеральная совокупность распределена по показательному закону.

Построим также эмпирическую функцию распределения (значения функции вычисляем на отрезке [0; 28] с шагом 0, 5):