Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения

В теории вероятностей под распределение понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пусть из генеральной совокупности объема выбрано объектов. Исследуется признак X со значениями: x₁, x₂, …x_k;

с частотами вариантов: n₁, n₂, … n_k.

Событие X < x₁;

X < x₂ имеет относительную частоту этого события n₁/n;

X < x₃ имеет относительную частоту этого события (n₁+n₂)/n

и т.д.

Таким образом, в общем случае X < x есть функция от x. Эту функцию обозначают: F^*(x) и называют эмпирической функцией распределения выборки.

Определение: Эмпирической функцией распределения выборки называется функция F^*(x), которая для каждого значения признака x определяет относительную частоту события X < x, т.е.

F^*(x) = n_x / n,

где n_x – число наблюдений, при которых значения вариант оказываются меньше, чем x; n – объем выборки.

Эта функция служит для приближенного представлении о теоретической функции распределения случайной величины.

Основные свойства

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; 1];

2. F^*(x) – неубывающая функция,

т.е. из того, что x₂ > x₁ следует F^*(x₂) F^*(x₁).

3. Если x₁ – наименьшая варианта, то F^*(x)=0 при ;

если x_k – наибольшая варианта, то F^*(x)=1 при x > x_k;

().

Пример. Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке

Решение. Объем выборки n = 6+16+18+20 = 60. Составим функцию, используя формулу F^*(x).

Построим график эмпирической функции распределения.