![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Образцы решения некоторых заданий контрольных работ
МАТЕМАТИКА Методические рекомендации для студентов решения задач по математики.
Пермь, 2011г.
Образцы решения некоторых заданий контрольных работ Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы: Решение. 1. Правило Крамера. Находим определитель системы: Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:
По формулам Крамера находим:
Ответ: 2. Метод обратной матрицы. Введём обозначения: Прежде всего найдём матрицу
Отсюда Тогда Итак, Пример2. Даны вершины треугольника АВС:
Решение. 1. Вычислим длины всех сторон треугольника:
Следовательно, периметр треугольника ABC равен
Ответ: 2. Составим уравнение прямой AB. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
Аналогично находим уравнения сторон BC: Ответ: AB: 3. Для нахождения уравнения высоты CH воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку: Ответ: CH: 4. Используя формулы для нахождения координат середины отрезка (полусумма соответствующих координат), найдем координаты точки M:
Ответ: AM: Пример3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти:
Решение. 1. Треугольник ABC построен на векторах Ответ: 2. Пирамида ABCD построена на векторах Ответ:
3. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:
Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: x+2y+2z-18=0. Ответ: ABC: x+2y+2z-18=0. 4. Для составления уравнения прямой AD нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор
Ответ: уравнение прямой AD: Пример 4. Найти производную функции Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования дроби, произведения и сложной функции:
Пример 5. Найти производную функции Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:
Пример 6. Провести полное исследование функции Решение. 1) 2) Так как область определения не симметрична относительно точки x=0, то проверка на чётность и нечётность не проводится. График функции симметрией не обладает. 3) Найдём нули функции, т.е. точки пересечения с осями координат.
4) Найдём асимптоты графика функции.
5) Найдём первую производную данной функции:
Найдём точки, в которых первая производная равна нулю:
Получаем, что при 6) Найдём вторую производную данной функции: Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю:
Получаем, что Контрольные точки (нули функции, точки экстремума и точки перегиба) наносим на координатную плоскость и на основании проведённого исследования строим график данной функции.
Пример 7. Вычислить интеграл: Решение. Применяя формулу интегрирования по частям Пример 8. Вычислить интеграл: Решение. Применяя к данному интегралу метод внесения под знак дифференциала, получаем: Пример 9. Вычислить интеграл: Решение.
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Решение. Данная криволинейная трапеция получается при пересечении параболы и прямой. Найдем точки пересечения их графиков. Для этого решим совместно два уравнения Сделаем схематический чертеж: Тогда искомая площадь будет равна: Ответ: Пример11. Найти экстремум функции: Решение. Находим частные производные первого порядка: Для проверки того, является полученная точка точкой экстремума или нет, и если является, то какой в этой точке будет экстремум: минимум или максимум, проверяем достаточное условие экстремума. Находим: Пример12. Решить уравнение: Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
Пример13. Решить уравнение Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: Пример14. Решить уравнение: у ² +2 у' +5 у = 0. Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: Пример15. Исследовать на сходимость ряд Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим Пример16. Найти область сходимости степенного ряда Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле: Исследуем ряд на концах интервала сходимости. При а) члены данного ряда убывают по абсолютной величине: б) При Ответ: степенной ряд Пример17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять. Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы: Р(А) = m/n. Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216. Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А, найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216. Ответ: Р (А) = 43/216. Пример18. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0, 2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех. Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих: В1: два билета из шести будут выигрышными; В2: три билета из шести будут выигрышными; В3: четыре билета из шести будут выигрышными. Тогда В= В1+В2+В3 и Р(В) = Р(В1)+Р(В2)+Р(В3). Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:
Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0, 2458+0, 0492+0, 0061=0, 3011 Ответ: P(B)=0, 3011. Пример19. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины хi, а во второй строке – численность каждой группы значений mi:
Найти объем выборки Решение. Найдем объем выборки n по формуле: Относительные частоты Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:
Находим числовые характеристики выборки: а) среднее арифметическое находим по формуле: б) выборочная дисперсия находится по формуле: Получаем: в) среднеквадратическое отклонение:
|