Теоретические упражнения

VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теоретические вопросы

1. Определение двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.

2. Основные свойства двойных и тройных интегралов.

3. Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

4. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6. Замена переменных в двойном интеграле.

7. Якобиан, его геометрический смысл.

8. Двойной интеграл в полярных координатах.

9. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

10. Тройной интеграл в сферических координатах.

Теоретические упражнения

1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что

,

если и - натуральные числа, и, по меньшей мере, одно из них нечетно.

2. С помощью теоремы о среднем найти

,

где - непрерывная функция.

3. Оценить интеграл

,

т.е. указать, между какими значениями заключена его величина.

4. Вычислить двойной интеграл

,

если область - прямоугольник { }, а .

5. Доказать равенство

б

если область - прямоугольник { }.

6. Доказать формулу Дирихле

, .

7. Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство

.

8. Какой из интегралов больше

или ,

если ?