![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основы теории статистического контроля
Выборочный контроль, построенный на научной основе, т.е. исходящий из теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем. Предпринимателя и менеджера выборочный контроль может интересовать не только в связи с качеством продукции, но и в связи, например, с контролем экологической обстановки, поскольку зафиксированные государственными органами экологические нарушения влекут штрафы и иные " неприятные" последствия. Или в связи с выборочным контролем документации. Обсудим основные подходы статистического контроля. При статистическом контроле решение о генеральной совокупности - об экологической обстановке в данном регионе или о партии продукции - принимается по выборке, состоящей из некоторого количества единиц (единиц экологического контроля или единиц продукции). Следовательно, выборка должна представлять партию, т.е. быть репрезентативной (представительной). Как эти слова понимать, как проверить репрезентативность? Ответ может быть дан лишь в терминах вероятностных моделей выборки. Наиболее распространенными являются две вероятностные модели - биномиальная и гипергеометрическая. В первой из них предполагается, что результаты контроля
Известно, что распределение
где Из формулы (1) и Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Вторая модель - гипергеометрическая - соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Замечательный математический результат состоит в том, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки. Таким образом, можно констатировать, что
с достаточной для практики точностью, если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (2) берут Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных методологических предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице - она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то - годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится инженером, экологом или экономистом при составлении выборки. В науках о человеке противоречие между двумя рассматриваемыми моделями выборки еще более выражено. Биномиальная модель предполагает, что поведение человека, в частности, выбор им определенного варианта при ответе на вопрос, определяется с участием случайных причин. Например, человек может случайно сказать " да", случайно - " нет". Некоторые философы отрицают присущую поведению человека случайность. Они верят в причинность и считают поведение конкретного человека практически полностью определенным (детерминированным) его взглядами, жизненным опытом, окружающей средой. Поэтому они принимают гипергеометрическую модель и считают, что случайность отличия ответов в выборке от ответов во всей генеральной совокупности определяется всецело случайностью, вносимой при отборе единиц наблюдения в выборку. Соотношение (3) показывают, что во многих случаях нет необходимости выбирать одну из моделей, поскольку обе дают близкие численные результаты. Отличия проявляются при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. Является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ " да", в гипергеометрической - только " нет". Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю. Планы статистического контроля и правила принятия решений. Под планом статистического контроля понимают алгоритм, т.е. правила действий при контроле качества. На " входе" при этом - генеральная совокупность (партия продукции), а на " выходе" - одно из двух решений: " принять партию" либо " забраковать партию". Рассмотрим несколько примеров. Одноступенчатые планы контроля Частные случаи: план Двухступенчатый план контроля Рассмотрим в качестве примера план В реальной нормативно-технической документации - договорах на поставку, технических регламентах, стандартах, технических условиях, инструкциях по экологическому контролю и т.д. - не всегда четко сформулированы планы статистического контроля и правила принятия решений. Например, при описании двухступенчатого плана контроля вместо задания приемочного числа с может стоять загадочная фраза " результат контроля второй выборки считается окончательным". Остается гадать, как принимать решение по второй выборке. Менеджер, администратор (государственный служащий), инженер, эколог или экономист, занимающийся вопросами экологического контроля или контроля качества, должен первым делом добиваться кристальной ясности в формулировках правил принятия решений, иначе ошибочные и необоснованные решения, а потому и убытки неизбежны. Оперативная характеристика плана статистического контроля. Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции Вычислим оперативную характеристику плана
Для плана
Оперативные характеристики для конкретных планов статистического контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (4) и (5). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (4) имеем: Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй - ни одной, равна Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы. Риск поставщика и риск потребителя, приемочный и браковочный уровни дефектности. С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия " риск поставщика " и " риск потребителя". Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны (области) -
Таким образом, если входной уровень дефектности не превосходит Если же входной уровень дефектности больше браковочного уровня дефектности При выборе плана контроля часто начинают с выбора приемочного и браковочного уровней дефектности. При этом выбор конкретного значения приемочного уровня дефектности отражает интересы поставщика, а выбор конкретного значения браковочного уровня дефектности - интересы потребителя. Можно доказать (см. ниже), что для любых положительных чисел При практических расчетах обычно принимают В качестве примера вычислим приемочный и браковочный уровни дефектности для плана Поскольку риск поставщика вытекает приближенная формула Для браковочного уровня дефектности имеем При практическом применении методов статистического приемочного контроля аналитическими формулами, имеющими обозримый вид лишь для отдельных видов планов, не пользуются. Для нахождения приемочных и браковочных уровней дефектности планов контроля вместо них применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы. Такие таблицы имеются в нормативно-технической документации или научно-технических публикациях. Предел среднего выходного уровня дефектности. Обсудим судьбу забракованной партии продукции. В зависимости от ситуации эта судьба может быть разной. Партия может быть утилизирована. Например, забракованная партия гвоздей может быть направлена на переплавку. У партии может быть понижена сортность, и она может быть продана по более низкой цене (при этом результаты выборочного контроля будут использованы не только для констатации того, что не выдержан заданный уровень качества, но и для оценки реального уровня качества). Наконец, партия продукции может быть подвергнута сплошному контролю (для этого обычно привлекают инженеров из всех заводских служб). При сплошном контроле все дефектные изделия обнаруживаются и либо исправляются на месте, либо извлекаются из партии. В результате в партии остаются только годные изделия. Такая процедура называется " контроль с разбраковкой". При среднем входном уровне дефектности Средний выходной уровень дефектности Пример. Рассмотрим план В полученном уравнении корень Следовательно,
По выражению (7) могут быть проведены конкретные расчеты. Однако оно довольно громоздко. Его можно упростить, используя один замечательный предел из курса математического анализа, а именно:
Сравнивая соотношения (7) и (8), видим, что Первая скобка равна Для более сложных планов ПСВУД рассчитывают с помощью более или менее сложных компьютерных программ. При проведенном выше рассмотрении основ статистического контроля расчетные формулы удалось получить лишь для простейших планов, в основном для планов вида Асимптотическая теория одноступенчатых планов. Пусть где Пусть используется одноступенчатый план контроля Пусть (сходимость по вероятности). Значит, если Хотя оперативная характеристика рассчитывается с помощью сумм биномиальных вероятностей, анализировать эти суммы затруднительно. Поэтому целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра-Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований: Справа стоит именно то выражение, которое участвует в теореме Муавра-Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что где Последняя формула позволяет указать асимптотические выражения для приемочного и браковочного уровней дефектности. Действительно, согласно определениям этих понятий
откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что
Так как величины Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля, как уже отмечалось, принимают Перейдем к задаче синтеза. Пусть заданы приемочный и браковочный уровни дефектности. Требуется построить одноступенчатый план, имеющий эти характеристики. Из формул (9) следует, в частности, что
Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что Следовательно, оценка Для стандартных значений рисков
С помощью уравнений (11) нетрудно найти оценку Для стандартного значения
Итак, по формуле (12) можно рассчитать оценку объема выборки, затем по формуле (13) найти оценку приемочного числа. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам отнюдь не всегда дают целые числа, поэтому необходима корректировка полученных результатов. Полученные формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств. Пример. Пусть Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до Оценку приемочного числа находим по формуле (13): Полученное число не является целым, поэтому в качестве приемочного числа надо взять ближайшее целое, т.е. до 3. Если объем выборки округлить до 73, то аналогично получим При округлении снова получаем 3. С помощью первого из уравнений (11) можно построить оценку с* на основе приемочного уровня дефектности: Подставив конкретные значения, получим практически ту же оценку, что и раньше: Итак, в результате асимптотических расчетов найден одноступенчатый план (72, 3).
|