Теоретические сведения. Пружинный маятник состоит из тела массы m и легкой пружины с коэффициентом жесткости k

Пружинный маятник состоит из тела массы m и легкой пружины с коэффициентом жесткости k. В общем случае движение пружинного маятника в поле силы тяжести довольно сложно и описывается большим числом степеней свободы. Практический интерес, однако, представляют колебания с одной степенью свободы, когда движение маятника происходит вдоль вертикальной оси. Для того, чтобы маятник совершал только вертикальные колебания достаточно оттянуть тело строго вниз на небольшую величину. Для полного описания колебаний в этом случае необходимо знать поведение только одной переменной, например, вертикальной координаты центра масс тела маятника. На тело, подвешенное на пружине в поле силы тяжести действуют две силы (без учета сил трения) сила тяготения и упругая сила. Начало координат выберем таким образом, чтобы при х=О масса m находилась в равновесии. При этом сила тяжести mg будет скомпенсирована некоторым начальным растяжением пружины и в дальнейшем рассмотрении участвовать не будет.

При отклонении тела от точки равновесия будет возникать возвращающая сила F(х). Рассмотрим малые колония пружинного маятника. Колебания пружинного маятника называют малыми, если сила, возникающая при смещении грузика от положения равновесия, пропорциональна его смешению и направлена в сторону положения равновесия. Для пружинного маятника условия малости колебаний удовлетворяются при смещениях, создающих возвращающую силу у пружины в пределах применимости закона Гука.

Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид

(1)

(2)

В реальных осцилляторах, за счет сил трения, происходит рассеяние (диссипация) запасенной энергии, в результате чего свободные колебания со временем затухают. При движения тела пружинного маятника в вязкой среде, с небольшими скоростями сила трения пропорциональна скорости. При учет диссипации энергии уравнение колебаний пружинного маятника имеет вид линейного дифференциального уравнения второй степени

(3)

Решение этого уравнения имеет вид затухающих колебаний

(4)

где X10, 10 — начальные амплитуда и фаза колебаний, w — частота затухающих колебаний, — декремент затухания. Действительно, подставим (4) в (3) получим

(5)

Отсюда следует, что

(6)

Используя полученный результат уравнение колебаний удобно записать в виде:

(7)

Для малых декрементов затухания колебания близки к гармоническим, при больших затухание происходит за 1—2 периода. В том случае, когда w0 значение частоты w становится мнимым и гармонические колебания не реализуются, происходит апериодический процесс—тело маятника после начального отклонения плавно возвращается в положение равновесия. Величина получила название декремента затухания. При этом величина равна времени, за которое амплитуда колебаний затухает в е раз. Затухание колебаний за период
= Т носит название логарифмического декремента затухания, его можно определить из соотношения

(8)

где — отношение амплитуд двух последовательных колебаний.