![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Анализ простейших рассуждений.
1.Если многоугольник правильный(φ), то вокруг него можно описать окружность(ψ). 2.Данный многоугольник правильный(φ). {1 и 2 это посылки} 3.Вокруг данного многоугольника можно описать окружность. правила отделения или правило заключения ПО
3. ψ – φ Заключение
Рассмотрим 2 предложение (1) φ → ψ, далее утверждена посылка φ и получаем заключение ψ. Переход от исходных данных к заключению называется выводом.
1) Правило отделения: (ПО)
φ, φ → ψ (ПО) ψ
2) Правило расширенной контрапозиции: (ПРК) φ → ψ ψ – Л φ – Л
p q если ∟ α ≠ ∟ β, то a ≠ b, т.е. q ≠ p эти посылки, утверждения равносильны.
3) Правило силлогизма: (ПС) p→ q φ 1 q→ r φ 2 p→ r φ
φ 1 φ 2 φ φ – сложное заключение.
2 φ 2 – И Посылки φ 1& φ 2 φ 1 φ 2 (ВК) φ 1& φ 2 Пример: пусть φ 1 ↔ (a< x), φ 2 ↔ (x< b), |=> φ 1& φ 2 = (a< x)& (x< b) = a< x< b,
4) УК (удаление конъюнкции) (УК) φ 1& φ 2 φ 1φ 2 Правило УК позволяет от конъюнкции перейти к отдельным утверждениям. Если имеется n посылок, то можно пойти & (i=1, n)φ i и по правилу УК из & (i=1, n)φ i можно получить отдельные значения φ i. v Пусть нам задана функция знаем, что она истина, и знаем, что от дизъюнкции φ 1 с И или Л от этого смысл исходного утверждения не изменится. φ 1 φ 1Vφ 2 – введение дизъюнкции (ВД) Пример: φ 1(a> 0) (a> 0)V(a=0), т.е. φ 1 V φ 2
a≥ 0. φ 1 φ 1Vφ 2Vφ 3V… Vφ n (ВД) добавить φ 1Vφ 2 φ 2 удаление дизъюнкции (УД) φ 1
Для удаления дизъюнкции, хотя бы одна посылка должна быть ложной. Пример: a≥ 0 φ 1Vφ 2 a≠ 0 – отрицательное φ 2 a> 0 φ 1
~ p~q < => (p→ q) & (p← q), т.е. φ 1& φ 2
φ 1 φ 2 (φ ← ψ) (φ ~ψ) – введение эквиваленции (ВЭ) Пример: рассмотрим ∆ из ПВК
φ ψ 2. если α = β, то a = b ∆ равнобедренный φ ~ψ φ ~ψ φ → ψ ψ → φ – удаление эквивалентности (УЭ)
в доказательствах часто применяются методы индукции, дедукции. Дедукция – этот метод позволяет осуществить переход от общего к частному, индукция – наоборот. В дедукции рассуждение имеет место теорема дедукции. Пусть имеется n посылок φ 1, φ 2, φ 3, … φ n из них выводится некоторое утверждение φ. Тот факт, что φ 1, φ 2 … φ n истина, то φ – истина. Теорема дедукции. φ 1, φ 2, … φ n |– φ Если утверждение φ можно получить из n посылок, то φ 1, φ 2, … φ n–1 |– (φ n→ φ) Доказательство по методу от противного. Предположим, что после союза то утверждение |– (φ n→ φ) – ложное, т.е.
При применении теоремы дедукции разрешается проверить посылку. После 1 применения теоремы дедукции условие будет выглядеть следующим образом: φ 1, φ 2, … φ n–2 |– [φ n-1→ (φ n→ φ)] После n применения теоремы дедукции условие будет иметь следующий вид: φ 1 |– {φ 2→ [φ 3→ …→ (φ n→ φ))))))...] Пример: 1. если 2 плоскости параллельны, то они не имеют общей точки.
p r 2. если 2 плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую.
q s 3. но 2 плоскости параллельны или пересекаются.
p q
Вывод: две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую.
r s
3. pVq φ 3 r V s φ
Если мы на основании посылок докажем их истинность, то докажем их. p→ r q→ s pVq r V s (1)
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 с использованием вспомогательной формулы равносильности rvs < => r→ s мы можем подставить в (1) получим. p→ r q→ s pVq |– (r→ s) (2)
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ ` по теореме дедукции p→ r q→ s pVq r |– s
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ `
доказательство:
2 q→ s φ 2 3 pVq φ 3 ← посылки 4 r φ 4 5 p {ПРК: 1, 4} 6 q {УД: 3, 5} 7 s {ПО: 2, 6}
|