Анализ простейших рассуждений.

1.Если многоугольник правильный(φ), то вокруг него можно описать окружность(ψ).

2.Данный многоугольник правильный(φ). {1 и 2 это посылки}

3.Вокруг данного многоугольника можно описать окружность.

правила отделения или правило заключения ПО

1. φ → ψ Посылки

2. φ – И Вывод

3. ψ – φ Заключение

Рассмотрим 2 предложение (1) φ → ψ, далее утверждена посылка φ и получаем заключение ψ.

Переход от исходных данных к заключению называется выводом.

1) Правило отделения: (ПО)

Р1→ Р2 < => Р2→ Р1 1 2

φ, φ → ψ (ПО)

ψ

2) Правило расширенной контрапозиции: (ПРК)

φ → ψ

ψ – Л

φ – Л

Пример:

если a = b, то ∟ α = ∟ β, т.е. p→ q

p q

если ∟ α ≠ ∟ β, то a ≠ b, т.е. q ≠ p

эти посылки, утверждения равносильны.

3) Правило силлогизма: (ПС)

p→ q φ ₁

q→ r φ ₂

p→ r φ

учитывая отношение равносильности (p→ q) & (q→ r) < => p→ r

φ ₁ φ ₂ φ

φ – сложное заключение.

& Пусть 1 φ ₁ – И

2 φ ₂ – И Посылки

φ ₁& φ ₂

φ ₁

φ ₂ (ВК)

φ ₁& φ ₂

Пример:

пусть φ ₁ ↔ (a< x), φ ₂ ↔ (x< b),

|=> φ ₁& φ ₂ = (a< x)& (x< b) = a< x< b,

4) УК (удаление конъюнкции) (УК)

φ ₁& φ ₂

φ ₁φ ₂

Правило УК позволяет от конъюнкции перейти к отдельным утверждениям. Если имеется n посылок, то можно пойти & (i=1, n)φ _i и по правилу УК из & (i=1, n)φ _i можно получить отдельные значения φ _i.

v Пусть нам задана функция знаем, что она истина, и знаем, что от дизъюнкции φ ₁ с И или Л от этого смысл исходного утверждения не изменится.

φ ₁

φ ₁Vφ ₂ – введение дизъюнкции (ВД)

Пример:

φ ₁(a> 0)

(a> 0)V(a=0), т.е. φ ₁ V φ ₂

a≥ 0.

φ ₁

φ ₁Vφ ₂Vφ ₃V… Vφ _n (ВД)

добавить

φ ₁Vφ ₂

φ ₂ удаление дизъюнкции (УД)

φ ₁

Для удаления дизъюнкции, хотя бы одна посылка должна быть ложной.

Пример:

a≥ 0 φ ₁Vφ ₂

a≠ 0 – отрицательное φ ₂

a> 0 φ ₁

~ p~q < => (p→ q) & (p← q), т.е. φ ₁& φ ₂

φ ₁ φ ₂

(φ ← ψ)

(φ ~ψ) – введение эквиваленции (ВЭ)

Пример:

рассмотрим ∆ из ПВК

1. если a = b, то α = β

φ ψ

2. если α = β, то a = b

∆ равнобедренный φ ~ψ

φ ~ψ

φ → ψ

ψ → φ – удаление эквивалентности (УЭ)

в доказательствах часто применяются методы индукции, дедукции.

Дедукция – этот метод позволяет осуществить переход от общего к частному, индукция – наоборот.

В дедукции рассуждение имеет место теорема дедукции.

Пусть имеется n посылок φ ₁, φ ₂, φ ₃, … φ _n из них выводится некоторое утверждение φ. Тот факт, что φ ₁, φ ₂ … φ _n истина, то φ – истина.

Теорема дедукции.

φ ₁, φ ₂, … φ _n |– φ

Если утверждение φ можно получить из n посылок, то

φ ₁, φ ₂, … φ _n–1 |– (φ _n→ φ)

Доказательство по методу от противного.

Предположим, что после союза то утверждение |– (φ _n→ φ) – ложное, т.е.

φ ₁, φ ₂, … φ _n–1 |– (φ _n φ) => φ _n→ φ < => Л, но это возможно значет это не удовлетворяет условию φ ₁, φ ₂, … φ _n |– φ

При применении теоремы дедукции разрешается проверить посылку.

После 1 применения теоремы дедукции условие будет выглядеть следующим образом:

φ ₁, φ ₂, … φ _n–2 |– [φ _n-1→ (φ _n→ φ)]

После n применения теоремы дедукции условие будет иметь следующий вид:

φ ₁ |– {φ ₂→ [φ ₃→ …→ (φ _n→ φ))))))...]

Пример:

1. если 2 плоскости параллельны, то они не имеют общей точки.

p r

2. если 2 плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую.

q s

3. но 2 плоскости параллельны или пересекаются.

p q

Вывод: две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую.

r s

1. p→ r φ ₁

2. q→ s φ ₂

3. pVq φ ₃

r V s φ

Если мы на основании посылок докажем их истинность, то докажем их.

p→ r q→ s pVq r V s (1)

φ ₁ φ ₂ φ ₃ φ ₄

с использованием вспомогательной формулы равносильности rvs < => r→ s мы можем подставить в (1) получим.

p→ r q→ s pVq |– (r→ s) (2)

φ ₁ φ ₂ φ ₃ φ ₄ φ `

по теореме дедукции

p→ r q→ s pVq r |– s

φ ₁ φ ₂ φ ₃ φ ₄ φ `

доказательство:

1 p→ r φ ₁

2 q→ s φ ₂

3 pVq φ ₃ ← посылки

4 r φ ₄

5 p {ПРК: 1, 4}

6 q {УД: 3, 5}

7 s {ПО: 2, 6}